3-mavzu. MatriTsalar

Matritsalarni ko‘paytirish
satr martitsa va ustun matritsa bir xil sondagi elementlarga ega bo‘lsin deylik. Bunda satrning ustunga ko‘paytmasi quyidagicha aniqlanadi:

ya’ni ko‘paytma matritsalarning mos elementlari ko‘paytmalarining yig‘indisiga teng bo‘ladi⁵.
Matritsalarni ko‘paytirishning bu qoidasi satrni ustunga ko‘paytirish qoidasi deb yuritiladi.
Ikki matritsani ko‘paytirish amali moslashtirilgan matritsalar uchun
kiritiladi. matritsaning ustunlari soni matritsaning satrlari soniga
teng bo‘lsa, va matritsalar moslashtirilgan deyiladi.
4-ta’rif. o‘lchamli matritsaning o‘lchamli matritsaga ko‘paytmasi deb, elementi matritsaning -satrini matritsaning -ustuniga satrni ustunga ko‘paytirish qoidasi bilan, ya’ni

(qo‘shiluvchlari quyidagi sxemada keltirilgan) kabi aniqlanadigan o‘lchamli matritsaga aytiladi.



1.4-misol. Berilgan matritsalarni ko‘paytiring.
1.
2.
3.
4.

Agar matritsaning satrlarini bilan va matritsaning ustularini bilan belgilansa, u holda matritsalarni ko‘paytirish qoidasini quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
.
Matritsalarni ko‘paytirishda yozuv ikkita bir xil matritsani ko‘paytmasini
bildiradi: . Shu kabi
1.5-misol. va bo‘lsin. ni toping.
Yechish. Matritsa ko‘rinishdagi funksiyaga o‘tishda sonli
qo‘shiluvchi ko‘paytma bilan almashtiriladi, bu yerda - birlik matritsa.


Umuman olganda matritsalarni ko‘paytirish nokommutativ, ya’ni . Masalan, o‘lchamli matritsaning o‘lchamli matritsaga ko‘paytmasi sondan, ya’ni o‘lchamli matritsadan iborat bo‘lsa, ko‘paytmasi - tartibli kvadrat matritsa bo‘ladi.
Bir xil tartibli va kvadrat matritsalar uchun bo‘lsa, va
matritsalarga kommutativ matritsalar, ayirmaga kommutator deyiladi.
1.6-misol. va matritsalarning kommutatorini toping.
Yechish.



Matritsalarni ko‘paytirish amali ushbu xossalarga bo‘ysunadi ⁶.
matritsa o‘lchamli va matritsalar o‘lchamli bo‘lsa, bo‘ladi;
matritsa o‘lchamli va matritsalar o‘lchamli bo‘lsa, bo‘ladi;
matritsalar mos ravishda , , o‘lchamli bo‘lsa, bo‘ladi;
(4) moslashtirilgan matritsalar va skalyar sonlar bo‘lsa, u holda:
1) 2)
3) 4)
5)
- tartibli kvadrat matritsalar va manfiy bo‘lmagan butun sonlar bo‘lsa, u holda:
1) 2)
3) 4)
Isboti. Xossalardan ayrimlarini ta’riflar yordamida isbotlaymiz va ayrimlarining to‘g‘riligiga misollarni yechish orqali ishonch hosil qilamiz.
-xossani qaraylik. matritsa o‘lchamli va matritsalar o‘lchamli bo‘lsin. U holda 2 va 3-ta’riflarga ko‘ra istalgan da birinchidan yoki

va ikkinchidan

bo‘ladi. Oxirgi ikkita tenglikdan bo‘lishi kelib chiqadi ⁷.
- xossani qaraylik. va bo‘lsin. Bundan va bo‘ladi, bu yerda U holda 3-ta’rifga ko‘ra istalgan da birinchidan
yoki
va ikkinchidan

bo‘ladi. Bundan bo‘lishi kelib chiqadi ⁸.
-xossani to‘g‘riligiga misol yechish orqali ishonch hosil qilamiz.
, bo‘lsin.
U holda




Demak, .