3-Mavzu. Tekislikda elliptik geometriya. Tekislikda giperbolik geometriya. Tekislikda to‘qqiz geometriya

Mavzuga doir savollar va masalalar. 
Savollar 
1. Sferik geometriyaning elliptik geometriya deb nomlanishiga sabab nima? 
2. Elliptik geometriyaning to„g„ri chizig„i qanday? 
3. Elliptik geometriyada kesma uzunligi va burchak kattaligi qanday 
o„lchanadi? 
4. Yerning shar shaklida ekanini e‟tiborga olsak, uning geometriyasi qanday 
bo„ladi? 
5. Har qanday ikki nuqtadan bitt ava faqat bitta to„g„ri chiziq o„tishini 
ko„rsating. 
Tekislikda giperbolik geometriya. 
 
Maʼlumki 
1826-yilda 
N.I.Lobachevskiy 
oʼzining 
“Tasavvurdagi 
geometriya” asarida birinchi noevklid yaʼni Yevklid geometriyasidan farqli 
geometriya haqida maʼruza qilgan. Bu sana noevklid geometriyani vujudga kelish 
sanasi hisoblanadi. Lobachevskiy geometriyasining vujudga kelish tarixi bir qator 
manbalarda bayon etilgan. Bu geometriyaning bir necha talqini paydo boʼlgandan 
soʼng, fanda oʼz oʼrniga va usullariga ega boʼldi. 
Lobachevskiy geometriyasi noyevklid geometriyaning yetarli darajada 
rivojlangan va ko„pgina fanlar sohalarida qo„llaniladigan bo„limidir. Ammo 
hozirgi kunda o„zbek tilida bu geometriyaning asosiy tushunchalari bayon etilgan 
adabiyotlar juda kam, masalalar to„plami esa umuman yo„q. 

---

Bizga o„rta maktab geometriya kursidan ma‟lum bo„lgan tekislikdagi 
geometriya (planimetriya) – Yevklid geometriyasidir. 
Ushbu paragrafda Lobachevskiy aksiomasini Yevklid geometriyasi 
doirasida, yaʼni Yevklid geometriyasi elementlari yordamida tasavvur qila olish 
imkonini yaratish borasida so„z yuritamiz. 
Lobachevskiy geometriyasining asosini tashkil etuvchi aksiomalar Yevklid 
geometriyasining aksiomalaridan faqat parallellik aksiomasi bilan farq qiladi. 
Shuning uchun, Yevklid geometriyasidagi parallellik aksiomasiga asoslanmagan 
har qanday teorema va tushunchalar Lobachevskiy geometriyasi uchun ham 
o„rinlidir. 
Ma‟lumki, Yevklid geometriyasida parallellik aksiomasi quyidagicha: 
berilgan to„g„ri chiziqda yotmaydigan nuqta orqali tekislikda berilgan to„g„ri 
chiziqqa bitta va faqat bitta parallel to„g„ri chiziq o„tkazish mumkin. 
Lobachevskiy geometriyasida parallellik aksiomasi esa: berilgan to„g„ri 
chiziqda yotmaydigan nuqta orqali shu to„g„ri chiziq bilan kesishmaydigan kamida 
ikkita to„g„ri chiziq o„tkazish mumkin. 
Yuqoridagi aksiomani tasavvur orqali anglash va tushunish inson uchun shu 
vaqtgacha egallagan bilimlari yetarli bo„lmaydi. Ya‟ni, biz bilgan tekislik orqali bu 
aksiomani tasavvur qilib bo„lmaydi. 
Biz bu paragrafda Lobachevskiy geometriyasining giperboloid ustidagi 
talqinini ko„rib chiqamiz. Shuning uchun bu geometriyani giperbolik geometriya 
deb ataymiz.
Maʼlumki, giperbolani simmetriya oʼqi atrofida aylantirishdan hosil boʼlgan 
shakl ikki pallali giperboloid deb ataladi. Bunda giperbolaning asimptotalaridan 
aylanma konus sirt hosil boʼladi. Bu aylanma konus, giperboloidga asimptotik 
konus deb ataladi.
Biz Lobachevskiy tekisligi talqinini hosil qilish uchun ikki pallali 
giperboloidning bir pallasidan foydalanamiz. Bundan soʼng giperboloid deganda 
ikki pallali giperboloidning bir pallasini tushunamiz. Tasavvur qilish oson boʼlishi 
uchun, asimptotik konus va giperboloid biror koordinatalar sistemasida berilgan 
boʼlsin deb hisoblaymiz. Bunda koordinatalar boshi konus uchida, 
– oʼqi esa 
konusning simmetriya markazida boʼlsin (7.3.1-rasm). 
Giperboloidga 
tegishli 
boʼlgan 
nuqtalarni Lobachevsliy tekisligi “nuqta” lari 
deb qabul qilamiz. Konus uchidan va 
giperboloidni 
kesuvchi 
tekisliklarni 
oʼtkazamiz. Kesimda giperbola hosil boʼladi. 
Shuningdek bu tekislik asimptotik konusni ikki 
yasovchisi boʼyicha kesib oʼtadi. Bu 

---

yasovchilar kesimda hosil boʼlgan giperbola uchun asimptota boʼladi. 
Lobachevskiy tekisligining “toʼgʼri chizigʼi” – deb giperboloidni konus uchidan 
oʼtuvchi tekislik bilan kesishishidan hosil boʼlgan nuqtalarning geometrik oʼrniga 
aytiladi. Bu chiziq giperboloid ustida yotuvchi giperbola boʼladi. – to„g„ri chiziq, 
- nuqta. 
Maʼlumki fazoda berilgan ikki tekislik har doim biror toʼgri chiziq (Yevklid 
maʼnosida) boʼylab kesishadi. Koordinatalar sistemasida – giperboloid, va
asimptotik konus uchidan oʼtuvchi tekisliklar berilgan boʼlsin. Har ikkala tekislik 
asimptotik konus uchidan oʼtganligi uchun, ular albatta biror - toʼgʼri chiziq 
boʼyicha kesishadi. Bu kesishuvchi toʼgʼri chiziq konusga nisbatan 3 xil 
joylashishi mumkin: 
1) konusdan tashqarida, 2) konus ichida, 3) konus ustida 
Berilgan giperboloid va berilgan tekisliklar kesishishidan kesimda 
Lobachevskiy toʼgʼri chiziqlari (yaʼni giperbolalar) hosil boʼladi. 
Berilgan ikki tekislik giperboloiddan tashqarida va asimptotik konusning 
uchi orqali oʼtuvchi - toʼgʼri chiziq (Yevklid maʼnosida) boʼylab kesishsin. Bu 
tekisliklar 
giperboloiddan 
tashqarida 
kesishganligi 
uchun 
bu 
ikki 
tekislik 
giperboloid ustida umumiy nuqtaga ega emas. 
Shuning uchun tekisliklar va giperboloid 
kesishishidan 
kesimda 
hosil 
boʼlgan 
Lobachevskiy toʼgʼri chiziqlari umumiy 
nuqtaga ega boʼlmaydi. Umumiy nuqtaga ega 
boʼlmagan toʼgʼri chiziqlar kesishmaydigan 
toʼgʼri chiziqlar deb ataladi. (7.3.2-rasm). 
Berilgan ikki tekislik giperboloidning ichidan va asimptotik konus uchi 
orqali oʼtuvchi toʼgʼri chiziq (Yevklid maʼnosida) boʼylab kesishsin. U holda bu 
ikki tekislik giperboloid ustida umumiy nuqtaga ega boʼladi. Giperboloid va 
tekisliklar kesishishidan kesimida hosil boʼlgan Lobachevskiy toʼgʼri chiziqlari 
ham umumiy nuqtaga ega boʼladi. Umumiy nuqtaga ega boʼlgan Lobachevskiy 
toʼgʼri chiziqlari kesishadigan toʼgʼri chiziqlar deb ataladi. (7.3.3-rasm). 
Endi giperboloid ustida kiritilgan “nuqta” va “toʼgʼri chiziq” tushunchalari 
uchun Lobachevskiy aksiomasining bajarilishini koʼrsatamiz. 
Bizga yuqoridagi giperboloid va 
, 
, 
uchta asimptotik konus 
uchidan oʼtuvchi tekisliklar berilgan 
boʼlsin. Bu uchta tekislik oʼzaro 
kesishishidan uchyoq hosil boʼladi. 

---

Tekisliklar kesishishidan hosil boʼlgan 
, 
va 
toʼgʼri chiziqlar (Yevklid maʼnosida) uchyoqning qirraladi boʼlsin. Har uchchala 
tekislik ham asimptotik konusning uchi orqali oʼtganligi uchun uchyoqning uchi 
ham asimptotik konusning uchida yotadi. Bu uchyoqning 
- qirrasi giperboloid 
ichida va qolgan va qirralari asimptotik konusdan tashqarida yotsin. U holda, 
uchyoqning 
qirrasi giperboloid ustida 
– nuqtani chizadi. va qirralari 
orqali oʼtuvchi – tekislik giperboloid bilan kesishishi natijasida kesimida - 
toʼgʼri chiziq hosil boʼladi. va qirralari orqali oʼtuvchi – tekislik va va
qirralari orqali oʼtuvchi – tekisliklar giperboloid bilan kesishishi natijasida 
kesimida mos ravishda 
va 
toʼgʼri chiziqlar hosil boʼladi. Bu ikki toʼgʼri 
chiziq nuqtada kesishadi va toʼgʼri chiziq bilan kesishmaydi. (7.3.4-rasm). 
Demak, 
nuqtadan oʼtuvchi va
toʼgʼri chiziq bilan kesishmaydigan ikkita 
va 
toʼgʼri chiziqlar bor ekan. 
Bu tekislik uchun Lobachevskiy 
aksiomasi bajariladi. 
Endi giperboloid ustidagi parallel 
toʼgʼri chiziqlarni koʼrsatamiz. Bizga 
yuqoridagi giperboloid, va asimptotik konus uchi orqali 
oʼtuvchi tekisliklar berilgan boʼlsin. Bu tekisliklar 
kesishishidan hosil boʼlgan 
toʼgʼri chiziq (Yevklid 
maʼnosida) giperboloidning asimptotik konusi yasovchisida 
yotsin. Yaʼni, ikki tekislik asimptotik konusning yasovchisi 
boʼylab kesishsin. U holda 
toʼgʼri chiziq (Yevklid 
maʼnosida) tekisliklar va giperboloid kesishishidan kesimida 
hosil boʼlgan ikki va Lobachevskiy toʼgʼri chiziqlari umumiy asimptotaga ega 
boʼlgan giperbolalar shaklida boʼladi. Bu ikki toʼgʼri chiziq kesishadigan ham 
kesishmaydigan ham toʼgʼri chiziqlar sinfiga kirmaydi. Shuning uchun bu ikki 
toʼgʼri chiziq parallel toʼgʼri chiziqlar deb ataladi (7.3.5-rasm). 
Asimptotik konusda biror yasovchini tanlab olaylik. Shu yasovchi orqali 
oʼtuvchi toʼgʼri chiziqlar toʼplamidan giperboloid bilan kesishuvchi tekisliklarni 
qaraylik. Bu tekisliklarning har biri giperboloidni bir Lobachevskiy toʼgʼri chizigʼi 
boʼylab kesadi. Bu toʼgʼri chiziqlar Lobachevskiy tekisligining oʼzaro parallel 
toʼgʼri chiziqlarini tashkil etadi. (7.3.6-rasm). 

---

Bizga yuqoridagi uchta tekisliklar oʼzaro kesishishidan hosil boʼlgan uchyoq 
berilgan boʼlsin. Bu uchyoqning qirrasi giperboloid ichida yotsin. U holda bu
qirra giperboloid ustida 
nuqtani 
yasaydi. Qolgan ikki va qirralari esa 
giperboloidning asimptotik konusining 
yasovchisida yotsin. U holda 
va
qirralari orqali oʼtuvchi 
tekislik 
giperboloid bilan kesishishidan kesimida 
toʼgʼri 
chiziq 
hosil 
boʼladi. 
Shuningdek, 
va 
qirralari orqali 
oʼtuvchi tekislik hamda va qirralari orqali oʼtuvchi tekisliklar giperboloid 
bilan kesishishi natijasida kesimida mos ravishda 
va 
toʼgʼri chiziqlar hosil 
boʼladi. Bu ikki toʼgʼri chiziq nuqtada oʼzaro kesishadi va toʼgʼri chiziq bilan 
kesishmaydi. (7.3.7-rasm). 
Keltirilgan 7.3.7-rasm toʼgʼri chiziqdan tashqarida yotgan 
nuqtadan unga 
parallel ikki toʼgʼri chiziq oʼtishini koʼrsatadi. Bu esa Lobachevskiy aksiomasining 
bajarilishini yani bu tekislikning giperboloid ustidagi talqinini koʼrsatadi.