3-Mavzu: Teylor ormulasi. Ba'zi bir elementar funksiyalar uchun Teylor formulasi

3-Mavzu: Teylor ormulasi. Ba'zi bir elementar funksiyalar uchun Teylor formulasi

Reja:

• Teylor ko'phadi. Peano ko'rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi.
• Teylor formulasining Lagranj ko'rinishdagi qoldiq hadi.
• Teylor formulasining Koshi ko'rinishidagi qoldiq hadi tushunchalar.
• Mavzu yuzasidan misollar.
• Klaster, B.B.B jadvali.
• Mavzu yuzasidan savollar.
• Foydalanilgan adabiyotlar.

O'tilgan mavzular bo'yicha savol-javob

Teylor ko'phadi. Peano ko'rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi.

• Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta'rifiga ko'ra, agar y=f(x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini f(x0)=f'(x0)x+o(x), ya'ni f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+o(x-x0) ko'rinishda yozish mumkin.
• Boshqacha aytganda x0 nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali
• P1(x)=f(x0)+b1(x-x0) (1)
• ko'phad mavjud bo'lib, xx0 da f(x)=P1(x)+o(x-x0) bo'ladi. Shuningdek, bu ko'phad P1(x0)=f(x0), P1'(x0)=b=f'(x0) shartlarni ham qanoatlantiradi.
• Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar x=x0 nuqtaning biror atrofida aniqlangan y=f(x) funksiya shu nuqtada f'(x), f''(x), ..., f(n)(x) hosilalarga ega bo'lsa, u holda
• f(x)=Pn(x)+ o((x-x0)n) (2)
• shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo'lmagan Pn(x) ko'phad mavjudmi?
• Bunday ko'phadni
• Pn(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)2+ ... +bn(x-x0)n, (3)

ko'rinishda izlaymiz. Noma'lum bo'lgan b0, b1, b2, ..., bn koeffitsientlarni topishda

• ko'rinishda izlaymiz. Noma'lum bo'lgan b0, b1, b2, ..., bn koeffitsientlarni topishda
• Pn(x0)=f(x0), Pn'(x0)=f'(x0), Pn''(x0)=f''(x0), ...,
• Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (4)
• shartlardan foydalanamiz. Avval Pn(x) ko'phadning hosilalarini topamiz:
• Pn'(x)=b1+2b2(x-x0)+3b3(x-x0)2+ ... +nbn(x-x0)n-1,
• Pn''(x)=21b2+32b3(x-x0)+ ... +n(n-1)bn(x-x0)n-2,
• Pn'''(x)=321b3+ ... +n(n-1)(n-2)bn(x-x0)n-3,
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
• Pn(n)(x)=n(n-1)(n-2)...21bn.
• Yuqorida olingan tengliklar va (3) tenglikning har ikkala tomoniga x o'rniga x0 ni qo'yib barcha b0, b1, b2, ..., bn koeffitsientlar qiymatlarini topamiz:
• Pn(x0)=f(x0)=b0,
• Pn'(x0)=f'(x0)=b1,
• Pn''(x0)=f''(x0)=21b2=2!b2,
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Pn(n)(x0)=f(n)(x0)=n(n-1)...21bn=n!bn

Teylor formulasining Lagranj ko'rinishdagi qoldiq hadi.

• Teorema:
• Agar funktsiya nuqtaning atrofida tartibgacha hosilalarga ega bo'lsa, u holda bu atrofning har qanday nuqtasi uchun qoldiq had ushbu ko'rinishga ega bo'ladi:
• buyerda ni
• qiymati a va x orasida yotadi. Buni Teylor ga qo'ysak,
• ga ega bo'lamiz, bunda
• formula Lagranj shaklidagi qoldiq hadli Teylor formulasi deb ataladi.
• a=0 bo'lsa, Makloren formulasiga ega bo'lamiz.

Asosiy elementar funktsiyalar uchun Teylor formulalari

• =
• ……………………………………..
• Hosilani topilgan qiymatlarini formulaga qo'yamiz.

funktsiyani Makloren formulasi bo'yicha yoyish. funktsiyasi barcha lar uchun turli tartibli hosilalarga ega. shu hosilalarning nuqtadagi qiymatlarini hisoblaymiz

• funktsiyani Makloren formulasi bo'yicha yoyish. funktsiyasi barcha lar uchun turli tartibli hosilalarga ega. shu hosilalarning nuqtadagi qiymatlarini hisoblaymiz
• ………………………………………
• Bundan ko'rinadiki, tartibi juft bo'lgan hosilalarning barcha x=0 da nolga teng. Topilgan qiymatlarni formulaga qo'yamiz.

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar

• 1. f(x) funksiyaning Teylor ko'phadi nima? U qanday tuziladi?
• 2. Ko'phad funksiya uchun Teylor ko'phadi qanday bo'ladi?
• 3. cosx, sinx, ln(1+x) funksiyalar uchun Peano, Koshi ko'rinishdagi qoldiq hadli Makloren formulalarini yozing.
• 4. Juft, toq funksiyalar uchun Makloren formulasi qanday xususiyatga ega?
• 5. (1+x)n (n ) funksiya uchun Makloren formulasini yozing, uni Nyuton binomi bilan solishtiring.
• 6. Teylor formulasi yordamida taqribiy hisoblashda xatolik qanday baholanadi?

• 1. Айлана ёки тўғри тўртбурчак шакллардан фойдаланишни ўзингиз танлайсиз.
• 2. Чизманинг кўринишини - мулоҳазалар занжиринитўғри чизиқлими, тўғри чизиқли эмаслигини ўзингиз танлайсиз.
• 3. Йўналиш кўрсаткичлари сизнинг қидирувларингизни: дастлабки ҳолатдан изланишгача бўлган йўналишингизни белгилайди.

• «Нима учун?» чизмасини тузиш қоидалари

TUZILMAVIY-MANTIQIY CHIZMA “POG'ONA”

• TAQRIBIY
• HISOBLASH

Mustaqil yechish uchun misol va masalalar

• 1. (1+x)1/3 funksiya uchun Peano qoldiq hadli Makloren formulasini yozing.
• 2. sin2x funksiya uchun Lagranj qoldiq hadli Makloren formulasini yozing.
• 3. y=ex funksiyaning x0=1 nuqta atrofidagi Teylor formulasini yozing

B/BX/B JADVALI

Bilaman	Bilishni xohlayman	Bilib oldim