3 Теоретические основы исследования геометрии Маскерони

Задача 4. Построить центр начерченной окружности.
Дано: окружность.
Построить: – центр окружности.

Рис. 8

Построение. Берём на данной окружности точку и произвольным радиусом проводим окружность , в пересечении получим точки и . На окружности определяем точку , диаметрально противоположную точке . Проводим, далее, окружности и и обозначаем через точку их пересечения. И, наконец, описываем окружность , которая пересечет окружность в точке . Отрезок равен радиусу данной окружности. Окружности и определят искомый центр начерченной окружности.
Доказательство. Равнобедренные треугольники и конгруэнтны, следовательно, .
Далее, ( – внешний угол треугольника ), и, с другой стороны, . Отсюда .
Таким образом, равнобедренные треугольники и подобны, следовательно, или .
Из последнего соотношения следует, что равнобедренные треугольники и подобны, значит,
= ; последние два равенства следуют из того, что .
На основании заключаем, что равнобедренные треугольники BX и ADX конгруэнтны, следовательно, [BX] = [AX] = [DX].
Точка X – искомый центр окружности [6].

Задача 5. Построить отрезов в 3ⁿ раз больший данного отрезка ( ).
Дано: и .
Построить: _n], _n]= ⁿ .
Построение. Проводим окружности и , точки пересечения которых обозначим через и (рис. 9).

Рис. 9
Описываем окружности и , которые пересекут окружность в точках и . Пусть точка является точкой пересечения окружностей и . Отрезок - искомый .

Повторяя для отрезка те же построения, которые были приведены для отрезка , найдем отрезок , причем , и т. д.
Доказательство. В равностороннем треугольнике : , _∆ACC’ . Очевидно, что _∆ACC’ . Аналогично доказываем, что и т. д.