3 Теоретические основы исследования геометрии Маскерони

«ГЕОМЕТРИЯ МАСКЕРОНИ»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

1. Теоретические основы исследования геометрии Маскерони 6
1.1 История развития «геометрии циркуля» 6
1.2 Основная теорема Мора – Маскерони. Ключевые задачи «геометрии циркуля» 8
2. Применение геометрии Маскерони на практике 13
2.1 Решение задач на построение только одним циркулем 13
2.2 Применение метода инверсии в геометрии циркуля 20
2.3 Геометрические построения на плоскости циркулем с ограничением…..27
Заключение 29
Список литературы 31

ВВЕДЕНИЕ
Геометрические построения являются существенным фактором в математике; они представляют собой мощное орудие геометрических исследований.
Традиционное ограничение орудий геометрических построений только циркулем и линейкой восходит к глубокой древности. Знаменитая геометрия Евклида (III век до нашей эры) была основана на геометрических построениях, выполняемых циркулем и линейкой; при этом было совершенно безразлично, как выполнялись отдельные построения: с помощью циркуля и линейки, или с помощью одного циркуля, или одной линейки.
Если вполне естественно, что с допущением большего разнообразия инструментов оказывается возможным решать более обширное множество задач на построение, то можно было бы предвидеть, что, напротив, при ограничениях, налагаемых на инструменты, класс разрешимых задач будет суживаться. Тем более замечательным нужно считать открытие, сделанное итальянцем Маскерони (1750-1800 г.): все геометрические построения, выполнимые с помощью циркуля и линейки, могут быть выполнены с помощью одного только циркуля. Следует, конечно, оговорить, что провести на самом деле прямую линию через две данные точки без линейки невозможно, так что это основное построение не покрывается теорией Маскерони. Вместо того приходится считать, что прямая задана, если заданы две ее точки. Но с помощью одного лишь циркуля удается найти точку пересечения двух прямых, заданных таким образом, или точку пересечения прямой с окружностью.
Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих математиков ещё в 6-5 веках до нашей эры. Ими занимались почти все крупные греческие геометры: Пифагор (6 век до н.э.) и его ученики, Гиппократ (5 век до н. э.), Евклид, Архимед, Аполлоний (3 в. До н. э.), Папп (3 в. н. э.) и многие другие.
В 17-18 вв. разрабатывается теория геометрических построений с помощью различных инструментов, отличных от принятых древними. Уже Леонардо да Винчи (1452-1519 г.) рассматривал построения с помощью линейки и циркуля постоянного размаха. Датчанин Мор (1672 г.) и итальянец Маскерони (1797 г.) изучали построения, выполняемые циркулем, и обнаружили, что циркуль позволяет решить всякую конструктивную задачу, разрешимую циркулем и линейкой.
В настоящее время теория геометрических построений представляет обширную и глубоко развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики.
Вышесказанное определяет актуальность выбранной темы и полезность ее изучения.
Объектом исследования является геометрия Маскерони.
Предметом исследования являются особенности решения задач на построение одним только циркулем.
Цель работы – изучить геометрические построения одним циркулем и доказать теорему Мора-Маскерони.
Для достижения поставленной цели в работе необходимо решить следующие задачи:
- рассмотреть историю развития «геометрии циркуля»;
- исследовать основную теорему Мора – Маскерони, ключевые задачи «геометрии циркуля»;
- охарактеризовать решение задач на построение только одним циркулем;
- определить применение геометрии Маскерони.
Методами исследования данной работы являются различные методы научного познания: анализ, синтез, системный подход и др.
Теоретическую основу исследования составили труды следующих ученых: Адлера А., Александрова И. И., Аргунова Б. И., Бланка М. Б., Воронец А. М., Зетель С. И., Комацу М.
Структура работы: состоит из введения, двух глав, логическим образом разбитых на параграфы, заключения и списка литературы и содержит 32 страницы.