3 Теоретические основы исследования геометрии Маскерони

Задача 1. На прямой, заданной точками и , построить одну или несколько точек.
Построение. Берём вне прямой (см. рис. 1) произвольную точку и строим относительно прямой симметричную ей точку . Проводим окружности и , которые пересекутся в точке . Произвольным радиусом проводим окружности и , в пересечении которых получим точки и , лежащие на данной прямой . Изменяя величину радиуса , можно построить сколько угодно точек данной прямой: , и т.д.

Рис. 1.


Доказательство. Точка симметрична точке , поэтому прямая проходит через середину отрезка и . Поэтому прямая является множеством всех точек, равноотстоящих от точек и . В силу построения и , следовательно, принадлежит и принадлежит [8].
Вторая и третья операции циркулем выполняются непосредственно. Рассмотрим доказательство 4-5 основных операций.
Задача 2. Построить точки пересечения окружности и прямой, заданной двумя точками и .
Построение в случае, когда центр не лежит на данной прямой (см. рис. 2).

Рис. 2. Центр не лежит на данной прямой

Строим точку , симметричную центру данной окружности относительно данной прямой (задача 1). Проводим окружность которая перечёт данную окружность в искомых точках и .

Доказательство. В предыдущей задаче было показано, что точки и лежат на прямой , однако эти точки принадлежат и заданной окружности , следовательно,
Построение в случае, когда центр данной окружности лежит на прямой (см. рис. 3).



Рис. 3. Центр данной окружности лежит на прямой

Произвольным радиусом проводим окружность так, чтобы она пересекалась с данной окружностью в двух точках и . Делим дуги данной окружности пополам. Точки и – искомые [20].

Задача 3. Построить точку пересечения двух прямых и , каждая из которых задана двумя точками.
Построение. Строим точки и , симметричные соответственно точкам и относительно данной прямой . Проводим окружности и и обозначаем через точку их пересечения. Строим отрезок , четвёртый пропорциональный к отрезкам , , . В пересечении окружностей и получим искомую точку [7].
Доказательство. Так как точка симметрична точке , а точка симметрична точке , то, очевидно, мы найдём точку пересечения данных прямых, если построим точку пересечения прямых и .

Рис. 4. Построение по задаче 3

Фигура – параллелограмм, следовательно, точки , , лежат на одной прямой . Треугольники и подобны, поэтому , но .

Отрезок является четвёртым пропорциональным к отрезкам , , .
Таким образом, было показано выполнение основных операций с помощью одного только циркуля.
Допустим теперь, что некоторую задачу на построение, разрешимую циркулем и линейкой, требуется решить только циркулем. Представим себе эту задачу решённой циркулем и линейкой; в результате решение задачи сведётся к выполнению некоторой конечной последовательности пяти основных операций. Приведённый метод решения геометрических задач на построение одним циркулем приводит к весьма сложным и громоздким построениям, но всё же он показывает справедливость основной теоремы циркуля.