3 Теоретические основы исследования геометрии Маскерони

Задача 6. Определить, параллельны ли данные прямые и .
Решение. Строим точки и , симметричные точкам и относительно прямой (рис. 10).

Рис. 10
Если , то параллельна . В самом деле, перпендикулярна к и перпендикулярна к , следовательно, параллельна ; поэтому, если кроме того , или , то точки и одинаково отстоят от прямой .

Задача 7. К данной прямой линии (рис. 11) восстановить перпендикуляр в точке .

Рис. 11
Построение. Сохраняя раствор циркуля неизменно равным расстоянию , описываем из точек и , как из центров, дуги, пересекающиеся в точке . Из точки описывается полная окружность, а затем на ней отмечаются дуги . Прямая есть искомый перпендикуляр.

Доказательство. Так как окружность делится радиусом на шесть одинаковых частей, то дуга есть половина окружности, следовательно, вписанный угол , опирающийся на диаметр , есть прямой.

2.2 Применение метода инверсии в геометрии циркуля

Теория построения одним циркулем получила свою известность благодаря книге «Геометрия циркуля» (1797 г.) Лоренцо Маскерони. Значительно позже в одном из букинистических магазинов была обнаружена книга датского математика Георга Мора «Датский Евклид», датированная 1672 годом. Обе книги содержат основной результат геометрии циркуля:
Теорема Мора-Маскерони: все построения, выполненные с помощь циркуля и линейки, могут быть проделаны только с помощью циркуля (при этом мы считаем прямую построенной, если найдены, хотя бы две точки этой прямой).
Какими бы инструментами мы ни делали построение, всякая задача приведется к следующим четырем основным операциям:

1. 
   на данной прямой указать одну или несколько точек;
   
2. 
   построить точку пересечения данных прямой и окружности;
   
3. 
   построить точку пересечения двух данных прямых;
   
4. 
   построить точку пересечения двух данных окружностей.
   

Если мы будем доказывать теорему Мора-Маскерони, то достаточно научиться выполнять одним только циркулем первые три операции, потому что четвертая – выполняется циркулем непосредственно.
В 1980 году теорема была оригинально доказана А. Адлером, который применил метод инверсии.
Инверсией относительно окружности называется отображение плоскости, переводящее произвольную точку , отличную от , в точку , удовлетворяющую условиям:

1. 
   точка принадлежит лучу ;
   
2. 
   .
   

Точка называется центром инверсии, - радиусом инверсии, точка инверсной (обратной) точке относительно точки при радиусе , а окружность - базисной окружностью инверсии. Фигура, образованная всеми точками, инверсными точкам данной фигуры, называется фигурой, инверсной данной фигуре.
Отметим простейшие свойства инверсии, вытекающие из определения.
1. Если точка инверсна точке , то и обратно, точка инверсна точке .
2. Центр инверсии не имеет образа.
3. Для всех точек плоскости, отличных от центра инверсии, инверсия является взаимно-однозначным соответствием.
4. Каждая точка базисной окружности инверсна самой себе.
5. Если данная точка лежит вне базисной окружности, то инверсная ей точка лежит внутри этой окружности, и наоборот.
6. Если одна из двух взаимно инверсных точек удаляется от центра инверсии, то другая приближается к нему, и наоборот.
7. При инверсии луч, исходящий из центра инверсии, преобразуется в себя.
8. При инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, преобразуется в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии - в окружность, проходящую через него.
9. При инверсии окружность, проходящая через центр инверсии, преобразуется в прямую (причем эта прямая перпендикулярна к линии центров данной окружности и базисной окружности), а окружность, не проходящая через центр инверсии - в окружность, также не проходящую через него.
10. При инверсии плоскость, проходящая через центр инверсии (без центра инверсии), преобразуется в себя.

На основании этих свойств получаются способы построения взаимных в инверсии точек, которое может быть выполнено при помощи одного только циркуля.

1.