3 Теоретические основы исследования геометрии Маскерони

Первая основная задача. На данной прямой указать одну или несколько точек.

Строим (рис. 12) окружности ; получаем точку , лежащую на продолжении . Тут же видно, как отрезок можно умножить на произвольное целое число.

Рис. 12. Рис. 13.
Если нам нужна точка, лежащая на отрезке , то (рис. 13) откладываем
, где есть целое, и чертим окружности ; последние две определяют искомую точку . В самом деле, из подобия треугольников и находим:
, откуда . Тут же видно, как одним циркулем разделить данный отрезок на целое число равных частей.

2. 
   Зная начало и степень инверсии , определить точку, соответственную данной точке . (рис.14)
   

Рис. 14.

Начертим окружности до встречи их в и ; строим окружности – пересечение их есть искомая точка .

В этом случае говорят, что точка инвертирована относительно (около) окружности , которая называется основной. Для доказательства вообразим диаметр окружности ; тогда . Если , то это построение невыполнимо. Тогда отрезок умножают на целое число так, чтобы . Пусть . Находим точку , обратную , и умножаем на . Точка перейдет в искомую точку , потому что или
.

3. 
   Зная начало и степень инверсии , начертить окружность, обратную данной прямой . (рис.14)
   

Искомая окружность проходит через . Пусть есть отражение в (оно определяется двумя окружностями радиусов и ). Определяем точку , обратную ; окружность будет искомая. Это очевидно из равенств .

4. 
   К трем данным отрезкам построить четвертый, им пропорциональный.
   

Опишем две концентрические окружности и ; отложим (рис. 15)

хорду и . Тогда или и есть искомый отрезок.
Рис.15
Если , то берут , где есть целое произвольное число. Тогда на чертеже получится -ая часть искомого отрезка.

5. 
   Зная начало и степень инверсии , инвертировать данную окружность.
   

Рис. 16

Пусть и будут касательными к данной и искомой окружностям с центрами в точках и (рис. 16). Положение точки легко определить, разделяя пополам. Зная , легко определить . Затем длины и определяются из пропорций и . Остается провести окружности и .

Если данная окружность проходит через , то искомая кривая обращается в прямую, две точки которой легко определить.

6. 
   Вторая и третья основная задача. Определить точку пересечения
   

двух данных прямых или точку пересечения данных прямой и окружности с помощью одного циркуля.
Данные две кривые инвертируем около начала, взятого вне их (3 и 5 задачи). Тогда они отобразятся в известных окружностях; точка пересечения их найдется непосредственно. Затем точку инвертируем обратно (2 задача) и получаем требуемое.
Мы видим, что все четыре основные операции, которые решают всю задачу, могут быть выполнены одним циркулем, без всяких других инструментов, и поэтому всякая задача на построение может быть решена одним циркулем. Таким образом, теорема Мора-Маскерони доказана.
Общий способ решать задачи на построение одним циркулем состоит в следующем.
Пусть данная задача приводится к построению некоторой точки . Представим себе, что задача решена циркулем и линейкой. Тогда получится некоторый геометрический образ, состоящий из ряда прямых и окружностей. В этом ряде найдутся две прямые (или прямая и окружность, или две окружности), пересечение которых определяет точку . Рассмотрим первый случай.
На этих двух прямых надо отыскать по две точки, и – на одной, и – на другой, так, чтобы все четыре точки могли быть построены одним циркулем. На практике эти четыре точки обыкновенно обнаруживаются без всякого труда. Теоретически существование этих точек обеспечивается тем, что, исходя из начала решения, мы каждую отдельную основную операцию построения можем выполнить одним циркулем. Пусть же точки найдены одним циркулем.
Тогда инвертируем одним циркулем прямые и ; они отобразятся в окружностях. Эти окружности пересекутся в . Наконец, инвертируем одним циркулем точку обратно и получаем точку . Сказанное уже легко распространить на тот случай, когда задача приводится к построению нескольких точек. Возникающий при этом длинный ряд построений, на практике можно сильно сократить, применяя принципы инверсии [2].