3 Теоретические основы исследования геометрии Маскерони

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ МАСКЕРОНИ НА ПРАКТИКЕ
2.1 Решение задач на построение только одним циркулем
В ходе рассмотрения теории о задачах на построение только циркулем составим несколько своих задач, и решим их.
Задача 1. Построить прямую, перпендикулярную к заданному отрезку и проходящую через один из его концов.
Дано:
П остроить:

Рис. 5

Построение. Проводим окружность , берем на ней произвольную точку и описываем окружность . Пусть – точка пересечения этих окружностей. Если теперь провести третью окружность до пересечения ее с окружностью в точке , то получим , т.е. – искомая прямая [4].
Доказательство. Отрезок соединяет центры окружностей и ,
– их общая хорда. Значит, и ( треугольник – равнобедренный).
Задача 2. Построить отрезок, в раз меньший данного отрезка .
Дано: и .
Построить: , .

Рис. 6

Построение. Строим отрезок . Проводим затем окружности , и , которые пересекутся в точках и . Если теперь провести окружности и , то в пересечении их получим точку , для которой .
Доказательство. Точка лежит на прямой , так как и (фигура – параллелограмм). Из подобия равнобедренных треугольников и получим [5].


Задача 3. Разделить отрезок на три равные части.
Дано: .
Построить: ,
и .

Рис. 7

Построение. Строим на прямой точки и так, чтобы . Проводим окружности и , в пересечении которых получим точки и . В пересечении окружностей и , и определим искомые точки и , делящие отрезок на три равные части [14].
Доказательство. Из подобия равнобедренных треугольников и следует: . Принимая во внимание, что и , получим , следовательно, .