32 Garmonik tebranishlarning boshlang'ich fazasi nolga teng. Davrning qanday boʻlagida nuqtaning

---

32 Garmonik tebranishlarning boshlang'ich fazasi nolga teng. Davrning qanday boʻlagida nuqtaning 
tezligi uning maksimal qiymatini yarmiga teng bo'ladi 
Oddiy garmonik harakatdagi jismning tezligi tenglama bilan berilishi mumkin: v = ωAcos(ωt + φ), bu 
yerda ω – burchak chastotasi, A – amplituda, φ – boshlang'ich faza burchagi va t – vaqt 
Maksimal tezlik cos(ωt + φ) = 1 bo'lganda bo'ladi, shuning uchun v_max = ωA. Shunday qilib, v = 
v_max/2 bo'lgan vaqtni topmoqchimiz 
v_max/2 = ωA/2 
cos(ωt + φ) = v/v_max = 1/2 
ωt + φ = ±π/3 
t = (π/3 - φ)/ω yoki t = (5π/3 - φ)/ω 
Shunday qilib, nuqta maksimal tezligining yarmiga (π/3 - φ)/ω yoki (5π/3 - φ)/ω bo'ladi, bu esa mos 
ravishda bir siklning 1/6 yoki 5/6 ga to'g'ri keladi. 
51. Garmonik tebranma harakat qilayotgan jismning toʻla energiyasi W = 2 * 10 ^ - 5 * J va jismga ta'sir 
qiluvchi kuchning maksimal qiymati Fmax = 1.10-3 N. Agar tebranishlar davri T = 2s va boshlang'ich fazasi 
varphi = 30 deg boʻlsa, bu jismning harakat tenglamasini yozing. Insitut, [30.04.2023 10:34] 
Bilamizki, oddiy garmonik harakatdagi jismning umumiy energiyasi tenglama bilan berilgan: E = 
(1/2)kA^2, unda k — bahorgi doimiy, A – harakatning amplitudasi. Bu tenglamadan T davri bilan birga, 
agular chastotasini topish uchun ω = 2π/T ni qo'llashimiz mumkin. 
Berilgan ma'lumotlardan foydalanib, bizda: 
E = 2* 10^-5 J 
F_max = 1,10^-3 N 
T = 2 s 
φ = 30 daraja = π/6 radian 
Maksimal kuch F_max = kA tenglamasi bo'yicha harakatning amplitudasi bilan bog'liq. Shuning uchun A 
uchun yechsak bo'ladi: 
A = F_max/k 

---

Umumiy energiya olish formulasida bu ifodani A ga almashtirishimiz mumkin: 
E = (1/2)kA^2 = (1/2)(F_max/k)^2 k = (1/2)F_max^2/k 
Shundan so'ng k ni yechishimiz va amplituda olish uchun ifodaga almashtirishimiz mumkin: 
k = (F_max^2)/(2E) 
A = F_max/k = F_max/(F\_max^2)/(2E) = 2E/F_max 
Nihoyat, biz ob'ekt uchun harakat tenglamasini yozish uchun amplituda va agular chastotasidan 
foydalanishimiz mumkin: 
x(t) = A cos(ωt + φ) 
x(t) = (2E/F_max) cos(ωt + π/6) 
Shu bilan bir qatorda, biz olish uchun davr jihatidan agular chastota uchun ifoda foydalanishingiz 
mumkin: 
ω = 2π/T = π 
Demak, harakat tenglamasi: 
x(t) = (2E/F_max) cos(t + π/6) 

---

135. Tenglamalari x₁ = A₁sino₁t, x_{2} = A_{2} * sin(omega_{2}*t + tau) boʻlgan va 
amplitudalari A_{1} = A_{2} = 1 cm ga teng bir xil yoʻnalishdagi ikkita tebranma 
harakat qoʻshilmoqda. Bu yerda omega_{1} = omega_{2} = pi*s ^ - 1 , tau = 0, 5sga 
teng. Natijalovchi tebranishlarni amplitudasi A va boshlangʻich fazasi topilib 
tenglamasi yozins 
Hosil bo'lgan harakatning amplitudasi va boshlang'ich fazasini topish uchun ikki va undan ortiq sinusoidal 
harakatlarning qo'shilish formulasidan foydalanishimiz mumkin: 
x = Acos(ωt + φ) 
bu erda A va φ natijasida paydo bo'lgan harakatning amplitudasi va boshlang'ich fazasini ifodalaydi va ω 
harakatning achish chastotasi. Ikkita sinusoidal harakatni qo'shish formulasi: 
x = x1 + x2 = A1sin(ω1t) + A2sin(ω2t + τ) 
Amplitudalar va agular chastotalar ikkita harakat uchun bir xil bo'lganligi sababli, biz ushbu ifodani 
quyidagicha soddalashtira olamiz: 
x = 2Asin(ω*t + φ) 
bu erda A hosil bo'lgan harakatning amplitudasi bo'lib, φ uning boshlang'ich bosqichidir. A va φ topish 
uchun tenglamalardan foydalanishimiz mumkin: 
A = √(A1^2 + A2^2 + 2A1A2*cos(τ)) 
φ = tan^-1(A1*sin(ω1*t) + A2*sin(ω2*t + τ))/(A1*cos(ω1*t) + A2*cos(ω2*t + τ)) 
Berilgan qiymatlarni almashtirish uchun biz quyidagilarni olamiz: 
A = √(1^2 + 1^2 + 21 1*cos(0,5s)) = √3 sm 
φ = tan^-1(sin(pi*t) + sin(pi*t + 0,5s))/(cos(pi*t) + cos(pi*t + 0,5s)) = tan^-1tan(0,25s)/sec(pi\*t + 0,25s) 
Demak, hosil bo'lgan harakatning tenglamasi: 
x = √3 smcos(pit + φ), bu yerda yuqoridagi ifoda bo'yicha φ berilgan. 
140. Moddiy nutqa, tenglamalari x=sin3π•t,y=-cosπ(t+0,5) (si sistemasida ) bo'lgan ikkita o'zaro 
perependikuliyar tebranishlarda qatnashmoqda. Nuqtaning trayektoriyasini aniqlang. Masshtabga rioya 
etib uning grafigini chizing va chegarasini aniqlang. Boshlang'ich vaqt momentiga mos kelgan nuqtaning 
tezligini va tezlanishini hisoblan 
Nuqtaning traektoriyasini topish uchun berilgan tenglamalarni x va y ga birlashtirish kerak. Tebranishlar 
perpendikulyar bo'lganligi sababli, biz quyidagilarni olish uchun Pythagorean identifikatoridan 
foydalanishimiz mumkin: 
r^2 = x^2 + y^2 = sin^2(3πt) + cos^2(π(t + 0,5)^2 
r^2 = sin^2(3πt) + cos^2(πt + π/2)^2 
r^2 = sin^2(3πt) + sin^2(πt + π/2)^2 
Endi bu ifodani soddalashtirish uchun yig'indi formulalaridan foydalanishimiz mumkin: 
r^2 = sin^2(3πt) + sin^2(πt + π/2)^2 
r^2 = (1/2)(1 - cos(6πt)) + (1/2)(1 - cos(πt)) 
r^2 = 1 - (1/2)cos(6πt) - (1/2)cos(πt) 

---

Bu nuqtaning trayektoriyasi tenglamasidir. 
Trayektoriyaning grafigini chizish uchun vaqt t funksiyasi sifatida r^2 ni plotlashimiz mumkin. Shkala biz 
ko'rsatmoqchi bo'lgan t oralig'iga bog'liq bo'ladi. Misol uchun, agar biz traektoriyani tezroq 
tebranishning bir tsikli (burchak chastotasi 3π) ustida ko'rsatmoqchi bo'lsak, biz 0 dan 2/3 sekundgacha 
bo'lgan oraliqdan foydalanishimiz mumkin (chunki bu tebranish davri 2/3 soniya). Soʻngra y-oʻqi ustida 
r^2, x oʻqi ustida esa t ni chizib, nuqtalarni tekis egri chiziq bilan bogʻlashimiz mumkin. 
Boshlang'ich vaqt momentida (t=0) nuqtaning tezligi va tezlanishini topish uchun vaqtga nisbatan x va y 
tenglamalarni differensatsiyalash kerak. 
dx/dt = 3πcos(3πt) 
dy/dt = πsin(πt + π/2) = -πcos(πt) 
t=0 bo'lganda nuqtaning tezligi quyidagicha bo'ladi: 
v = √(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 = √(3π)^2 + (π)^2 = √10π 
Nuqtaning tezlanishi o'z pozitsiyasining ikkinchi derivatsiyasi bo'ladi: 
d^2x/dt^2 = -9π^2sin(3πt) 
d^2y/dt^2 = -π^2cos(πt 
t=0 bo'lganda nuqtaning tezlanishi quyidagicha bo'ladi: 
a = √(d^2x/dt^2)^2 + (d^2y/dt^2)^2 = √(9π^2)^2 + (π^2)^2 = πsqrt(82) 
Bilamizki, oddiy garmonik harakatdagi jismning umumiy energiyasi tenglama bilan berilgan: E = 
(1/2)kA^2, unda k — bahorgi doimiy, A – harakatning amplitudasi. Bu tenglamadan T davri bilan birga, 
agular chastotasini topish uchun ω = 2π/T ni qo'llashimiz mumkin. 
Berilgan ma'lumotlardan foydalanib, bizda: 
E = 2* 10^-5 J 
F_max = 1,10^-3 N 
T = 2 s 
φ = 30 daraja = π/6 radian 
Maksimal kuch F_max = kA tenglamasi bo'yicha harakatning amplitudasi bilan bog'liq. Shuning uchun A 
uchun yechsak bo'ladi: 
A = F_max/k 
Umumiy energiya olish formulasida bu ifodani A ga almashtirishimiz mumkin: 
E = (1/2)kA^2 = (1/2)(F_max/k)^2 k = (1/2)F_max^2/k 
Shundan so'ng k ni yechishimiz va amplituda olish uchun ifodaga almashtirishimiz mumkin: 
k = (F_max^2)/(2E) 
A = F_max/k = F_max/(F\_max^2)/(2E) = 2E/F_max 
Nihoyat, biz ob'ekt uchun harakat tenglamasini yozish uchun amplituda va agular chastotasidan 
foydalanishimiz mumkin: 

---

x(t) = A cos(ωt + φ) 
x(t) = (2E/F_max) cos(ωt + π/6) 
Shu bilan bir qatorda, biz olish uchun davr jihatidan agular chastota uchun ifoda foydalanishingiz 
mumkin: 
ω = 2π/T = π 
Demak, harakat tenglamasi: 
1. Majburiy tebranishlar, shuningdek, majburiy tebranishlar tizimni ma'lum bir chastotada haydab 
yuboradigan tashqi davriy kuchga duchor bo'lganda sodir bo'ladigan tebranishlardir. 
2. Majburiy tebranishning amplitudasi tashqi davriy kuchning amplitudasi bilan aniqlanadi. 
3. O'zgarish va majburiy kuch o'rtasidagi faza farqi shundaki, o'zgarish tizimning muvozanat 
pozitsiyasining o'zgarishini ifodalaydi, majburiy kuch esa bu o'zgarishga qarshi bo'lgan kuchni ifodalaydi. 
Rezonans 5. hodisasi sistemaning tabiiy chastotasi bilan bir xil chastotada sistemaga tashqi kuch 
qo'llanilganda sodir bo'ladi, bu esa sistemaning juda katta amplituda bilan tebranishiga sabab bo'ladi. 
Rezonans turli jismoniy tizimlarda, shu jumladan mexanik, elektr va akustik tizimlarda sodir bo'lishi 
mumkin. 
6. Rezonans chastotasining ekvivalenti - bu tizimning tabiiy chastotasi bo'lib, u hech qanday tashqi 
kuchga duchor bo'lganda tizimning tebranish chastotasidir. 
"Prune" buloqni anglatadi va "yog'" suyuqlikni nazarda tutadi deb hisoblash uchun muammoni 
quyidagicha hal qilish mumkin: 
1. Massaga amal qiluvchi gravitatsion kuch Fg = mg tomonidan berilgan bo'lib, unda m tananing massasi 
bo'lib, g gidravlika tufayli tezlanish (taxminan 9,8 m/s^2). Shunday qilib, Fg = 0,5 kg × 9,8 m/s^2 = 4,9 N. 
2. Bahorning tiklovchi kuchi Fs = kx tomonidan berilgan bo'lib, unda k — bahor doimiysi, x esa tenglik 
pozitsiyasidan ko'chib ketishdir. Tenglik pozitsiyasi massa qimirlamay, bahor esa na siqilgan, na cho'zilib 
ketgandadir. Massa bahorda osilganligi sababli, muvozanat pozitsiyasi bahor siqilmagan va cho'zilgan va 
massa dam olayotgan paytda. Shunday qilib, Fs = 0 N tenglik pozitsiyasida. 
3. Massiv tenglik pozitsiyasidan ko'chirilganda, bahor ko'chib ketish yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lgan 
kuchni amalga oshiradi. Kuchning kattaligi ko'chib ketishga proportsional bo'lib, Fs = -kx tomonidan 
beriladi. Manfiy belgi kuchning ko'chib ketishiga qarama-qarshi yo'nalishda ekanligini ko'rsatadi. 
4. Massaga amal qilayotgan friksion kuch ff = -rv, bu yerda qarshilik koeffitsienti va v – massaning tezligi 
berilgan. Manfiy belgidan ko'rinib turibdiki, friksion kuch massaning harakat yo'nalishiga qarshi turadi. 
5. Massaga amal qiluvchi to'r kuchi F = F0 sin(ωt) - kx - rv bo'yicha berilgan bo'lib, unda F0 o'zgaruvchi 
kuchning amplitudasi, ω – kuchning chastotasi, t – vaqt, x va v esa mos ravishda massivning ko'chish va 
tezligi hisoblanadi. 
6. Tenglik pozitsiyasida massadagi to'r kuchi nolga teng. Shunday qilib, x = 0 bo'lganda F = 0. 

---

7. Massaning istalgan vaqtdagi ko'chib ketishi x(t) = A sin(ωt) bilan beriladi, bu yerda A – tebranishning 
amplitudasi. 
8. x(t) ni to'rli kuch uchun tenglamaga almashtirish va to'r kuchini nolga teng qilib o'rnatish ω uchun 
yechishimiz mumkin: 
F0 sin(ωt) - kA sin(ωt) - rAω cos(ωt) = 0 
(ω^2 - k/m)A sin(ωt) = F0/m sin(ωt) + rAω/m cos(ωt) 
ω^2 - k/m = F0/mA sin(ωt) / A sin(ωt) + rω/m cos(ωt) 
ω^2 - k/m = F0/mA + rω/m x 
ω^2 - k/m - rω/m x - F0/mA = 0 
9. ω uchun numizmaviy usullar yordamida yechish: 
ω = 2,12 rad/s 
10. Tebranishning amplitudasini o'zgaruvchan kuchning amplitudasi, massasi va bahorgi doimiysi 
yordamida topish mumkin: 
A = F0 / (k/m - mω^2)^(1/2) 

---

A = 0,98 N / (0,098 N/sm × 0,005 kg - 0,5 kg × (2,12 rad/s)^2)^(1/2) 
A = 0,16 sm (ikki o'nli joyga yumaloq) 
Shuning uchun kuch chastotasi 2,12 rad/ s va yukning tebranish amplitudasi 0,16 sm. 
Tekis tovush to'lqini uchun vaqt (t) funksiyasi sifatida ko'chish (x) uchun tenglamani quyidagicha 
ifodalash mumkin: 
x = A sin(2πft - kx) 
bu yerda f to'lqinning chastotasi, k – to'lqin sonini, A esa to'lqinning amplitudasi. 
To'lqinning chastotasi 200 Hz va manba tebranishining amplitudasi 4 mm ekanligi berilgan. Biz 
chastotani sekundiga radyanlarga aylantira olamiz: 
ω = 2πf = 1256,6 rad/s 
To'lqinlar raqamni quyidagicha hisoblash mumkin: 
k = ω / v = 4,19 × 10^-3 m^-1 

---

Tebranish amplitudasi boshlang'ich vaqtda maksimal bo'lgani uchun tenglamada t = 0 ni o'rnatishimiz 
mumkin. Shuningdek, manba nuqtasining dastlabki koʻchirilishi nol deb hisoblashimiz mumkin, chunki u 
manba nuqtasidan uzoqlashib ketayotgan toʻlqinning koʻchib ketishiga qiziqamiz. Shunday qilib, 
boshlang'ich vaqtda pozitsiya (x) funksiyasi sifatida ko'chish uchun tenglama: 
x(x, 0) = 4 mm sin(2π(200 Hz) × 0 - (4,19 × 10^-3 m^-1) x) 
x(x, 0) = 4 mm sin(-0,00838 x) 
Sine funksiyaning argumentidagi manfiy belgi to'lqinning musbat x-yo'nalishda tarqalayotganligini 
ko'rsatadi. To'lqinning amplitudasi to'lqin qirg'og'idan tarqalishi tufayli manba nuqtasidan uzoqlashishi 
bilan kamayadi.