4- ma’ruza. Mavzu

4-misol.Matritsa ustida elementar almashtirishlarni bajaring.

Yechish.
Matritsani kanonik ko‘rinishga keltiramiz.
Buning uchun elementar almashtirishlarni bajaramiz:
- avval matritsaning 2-satrini (-1)ga ko‘paytiramiz va uni 1-satr bilan almashtiramiz, keyin 2-satrni 5-satr bilan, 1-satrni 4-satr bilan o‘rinlarini almashtiramiz, keyin 1-ustunning 1- elementidan boshqa elementlarini nolga aylantiramiz;
2-satr elementlariga (-2)ga ko‘paytirilgan 1- satrning mos elementlarini qo‘shamiz, va 3- satr elementlariga (-3)ga ko‘paytirilgan 1-satrning mos elementlarini qo‘shamiz;
- hosil bo‘lgan matrisaning 2- , 3-,4-,5- satr elementlarini mos ravishda ( -5), (-11), 2,5 ga bo‘lamiz;
keyin (-4) ga ko‘paytirilgan 2-satr elementlarini 1 satrning mos elementlaridn, 3-satrdan, 4-satrdan, 5-satrdan 2-satrnining mos elementlarini ayiramiz;
-hosil bo‘lgan matritsaning 3-ustuniga (-3)ga ko‘paytirilgan 1-ustun mos elementlarini qoshamiz;
hosil bo‘lgan matritsaning 1- ustunini -3ga ko‘paytirib, 3-ustunning mos elementlariga qo‘shamiz.
- hosil bo‘lgan matritsaning 2 - ustunini 2ga ko‘paytirib, 3-ustunning mos elementlariga qo‘shamiz.
Bajarilgan elementar almashtirishlarni sxema tarzida keltiramiz:


~ ~ ~ ~ ~
~ ~
Matritsaga kelamiz. Uning rangi 2 ga teng. Demak, .
Elementar almashtirishlar natijasida matritsaning rangi o‘zgarmaydi.
Biri ikkinchisidan elementar almashtirishlar natijasida hosil qilingan va matritsalarga ekvivalent matritsalar deyiladi va ~ deb yoziladi. Diagonal elementlarining ayrimlari (yuqori satrlardagi) birga va ayrimlari nolga teng bo‘lgan matritsaga kanonik matritsa deyiladi. Kanonik matritsaning rangi uning diagonalida joylashgan birlar soniga teng bo‘ladi.
ni matritsani elementar almashtirishlar orqali kanonik matritsaga keltirib topish usuliga elementar almashtirishlar usuli deyiladi.
5 misol. Matritsaning rangini minorlar ajratish usuli bilan toping:




Ikkinchi tartibli minorlardan biri



Uchinchi tartibli minorlarni hisoblaymiz:









Barcha uchinchi tartibli minorlar nolga teng. Demak ,
6-misol. Matritsaning rangini elementar almashtirishlar usuli bilan toping:

Matritsani kanonik ko‘rinishga keltiramiz.
Buning uchun elementar almashtirishlarni bajaramiz:
- avval matritsaning 1- va 4-satrlarining o‘rinlarini almashtiramiz,
keyin 2-satr elementlariga 1- satrning mos elementlarini qo‘shamiz va 3- satr elementlariga (-3)ga ko‘paytirilgan 1-satrning mos elementlarini qo‘shamiz;
- hosil bo‘lgan matrisaning 2 ,3 va 4- satr elementlarini mos ravishda ( -11), 22 va 5 ga bo‘lamiz, keyin (-1) ga ko‘paytirilgan 2-satr elementlarini 3 va 4 -satrning mos elementlariga qo‘shamiz;
- hosil bo‘lgan matritsaning 2 ,3 va 4- ustun elementlariga mos ravishda 7, (-17) va (-3) ga ko‘paytirilgan 1- ustun elementlarini qo‘shamiz, keyin 3- ustun elementlariga 2 ga ko‘paytirilgan 2-ustun elementlarini qo‘shamiz.
Bajarilgan elementar almashtirishlarni sxema tarzida keltiramiz:


= = = =
= =
Demak,
Savollar
1. Matritsa rangi ta’rifi qanday?
2. Matritsa rangini hisoblashning minorlar usuli qanday?
3. Ekvivalent almashtirishlar yordamida matritsa rangini qanday hisoblaniladi?