4-ma‘ruza. Mavzu: Vektorlar va ular ustida amallar. Reja

1-misol. a = {3;4;5} va b = {6;8;10} vektorlar kollinearmi?
Yechish. b = 2a , ya‘ni vektorlarning koordinatalari proporsional
bo'lganligi uchun vektorlar kollinear.

3. 
   Skalyar ko'paytma.
   

1-ta‘rif. Ikkita а va b vektorning skalyar ko'paytmasi deb, bu vektorlar uzunliklarini ular orasidagi
burchak kosinusiga ko'paytmasiga teng bo'lgan songa (skalyarga) aytiladi.
а va b vektorlarning skalyar ko'paytmasi а ■ b kabi belgilanadi.
Demak, ta‘rifga binoan а • b = |а| • b -cos(p . (7.4)


а
а • b = |а| • pr b . (7.5)
а
ko'rinishida yozish mumkin. Bu formulalardan foydalanib vektorning boshqa vektor yo'nalishiga proeksiyasini ham aniqlash mumkin. Masalan
а ■ b
pr а=
b
|а| • cos(p = pr а, b • cos(p = pr- b bo'lgani uchun (7.4) formulani


(7.6)
а • b = b • pr а yoki formula orqali а vektorning в vektor yo'nalishiga proeksiyasi topiladi. Agarda b vektor birlik vektor bo'lsa |b| =1 bo'lib pr а=а • b bo'ladi, ya‘ni vektorning birlik vektori yo'nalishiga proeksiyasi ularning skalyar ko'paytmasiga teng bo'lar ekan.
Skalyar ko'paytma tushinchasidan foydalanib to'g'ri chiziqli harakatda F kuchni jismni S masofaga siljitishda bajargan ishi A ni А= F • S ko'rinishida yozish mumkin.





2-misol. с =3 а -2 b vektor berilgan. |а| =5,

b =4 bo'lib,

а va b

vektorlar


orasidagi burchak 60⁰ bo'lsa c vektorning uzunligi topilsin.
Yechish. а²= |а|² formuladan 4а4 = |а| kelib chiqadi.
Bunga asosan:
|c| = 4C²=7(3а - 2b) ²=\l9а² - 12а ■ b + 4b² J9 ■ |а|² -12 ■ |а| ■ |b|cos(a лb) + 4|b\ =
= 79 ■ 25 -12 ■ 5 ■ 4 ■ cos60⁰ + 4 ■ 4² = 9 ■ 25 -12 ■ 20 ■ 1 + 64 =7169 =13.
Skalyar ko'paytmani vektorlarning koordinalari orqali ifodalash.
а = а х i + a y j + a z к va b =bx i + b у j + b z к
vektorlar berilgan bo'lsin. Skalyar ko'paytmani xossalari hamda (7.7) va (7.8) formulalarga asosan quyidagiga ega bo'lamiz.
а • b ( а х i + a y j + a z к )(bx i + b у j + b z к )
а xbx i • i + а xby i • j + а xbz i • к + а ybx j • i + а yby j • j + а ybz j ’ к +
+ а zbx к • i + а zby к • j + а zbz к • к а xbx+ а уЬу+ а zbz.
Shunday qilib, koordinatalari yordamida berilgan ikki vektorlarning skalyar ko'paytmasi nomdosh koordinatalar ko'paytmalari yig'indisiga teng, ya‘ni
a • b = a _х b_x+ a _yb_y+ a _zb_z. (7.9)

3. 
   misol. a=2i +3 j -к va b =-3i +4 j +2к vektorlarning skalyar
   

ko'paytmasi topilsin.
Yechish. Misolda a_х=2, a_у=3, a_z=-1, b_x=-3, b_y=4, b_z=2 bo'lganligi sababli (7.9) formulaga binoan a • b =2-(-3)+3-4+(-1)-2=4 bo'ladi.
4.12.Ikki vektorning perpendikulyarlik sharti.
Skalyar ko'paytmani 4-xossasiga ko'ra a va ^b (nolmas) vektorlar perpendikulyar bo'lishi uchun a • b =0 shartning bajarilishi zarur va yetarli edi. Bundan (7.9) formulaga asosan a _x bx+ a yby+ a zbz=0 (7.11) ikki vektorning
perpendikulyarlik shartini hosil qilamiz. Shunday qilib ikkita noldan farqli vektorlar o'zaro perpendikulyar bo'lishi uchun ularni nomdosh koordinatalari ko'paytmalarining yigindisi nolga teng bo'lishi zarur va yetarli ekan.

4. 
   misol. a = {2;-3;-1} va b {4;2; m} vektorlar m ning qanday qiymatlarida perpendikulyar bo'ladi.
   

Yechish.Perpendikulyarlik sharti (7.11) ga asosan 2-4+(-3) -2+(-1) -m=0. Bundan 2-m=0, m=2. Demak vektorlar m=2 da perpendikulyar bo'lar ekan.
O'z-o'zini tekshirish uchun savollar.

1. 
   Skalyar va vektor kattaliklar nima?
   
2. 
   Vektor nima?
   
3. 
   Qanday vektorlar kollinear, komplanar, teng va qarama-qarshi deb ataladi?
   
4. 
   Vektorning moduli nima?
   
5. 
   Vektorlar ustidagi qaysi amallar chiziqli amallar deb ataladi va ular qanday amalga oshiriladi?
   
6. 
   Vektorning o'qqa proeksiyasi nima va u qanday xossalarga ega?
   
7. 
   Vektorning o'qdagi tashkil etuvchisi nima?
   
8. 
   Dekart bazasi (ort) nima?
   
9. 
   Nuqtaning radius-vektori nima?
   
10. 
    Vektorning koordinatalari nima?
    
11. 
    Vektor ortlar orqali qanday ifodalanadi?
    
12. 
    Koordinatalari yordamida berilgan vektorlar ustida chiziqli amallar qanday bajariladi?
    
13. 
    Vektorning uzunligi qanday topiladi?
    
14. 
    Vektorni yo'naltiruvchi kosinuslari nima va ular qanday topiladi ?
    
15. 
    Vektorlarning kollinearlik shartini yozing ?
    

16.Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi deb nimaga aytiladi ?
17.Vektorlar orasidagi burchak qanday topiladi ?
18.Ikki vektorning perpendikulyarlik sharti nimadan iborat?
5-ma‘ruza. Mavzu: Vektorlarning vektor va aralash ko'paytmasi.
Reja:

1. 
   Ikki vektorni vektor ko'paytmasi.
   
2. 
   Vektor ko'paytmaning xossalari.
   
3. 
   Vektor ko'paytmani topish.
   
4. 
   Uch vektorni aralash ko'paytmasi.
   
5. 
   Uch vektorning komplanarlik sharti.
   

Adabiyotlar: 3,5,8,9,12,16.
Tayanch iboralar: vektor ko'paytma, aralash ko'paytma, komplanarlik.
5.1.Ikki vektorning vektorli ko'paytmasi.
1-ta‘rif. a vektorning b vektorga vektor ko'paytmasi deb quyidagi shartlarni qanoatlantiradigan с vektoga aytiladi:

1. 
   с vektor a va b ko'paytuvchi vektorlarning har ikkalasiga perpendikulyar;
   
2. 
   с vektorning uchidan qaraganda a vektordan b vektorga eng qisqa burilish masofasi soat mili aylanishiga teskari yo'nalishda ko'rinadi;
   

с = |a| • ь sin (a^л b) (8.1)
d) с vektorning uzunligi a va b vektorlardan yasalgan parallelogramning yuziga teng, ya‘ni

a vektorning b vektorga vektor ko'paytmasi a • b kabi belgilanadi(26-chizma).


23-chizma.

2. 
   Vektor ko'paytmaning xossalari.
   

1. 
   Ko'paytuvchilarning o'rinlarini almashtirish natijasida vektorli ko'paytmaning ishorasi o'zgaradi, ya‘ni a x b =- b x a. Bu xossaning to'g'riligi vektor ko'paytmaning ta‘rifidan bevosita kelib chiqadi.
   
2. 
   Sonli ko'paytuvchini vektor ko'paytma belgidan chiqarish mumkin, ya‘ni (z a) x b = ax(z b )= z-(axь ), (z=const).
   
3. 
   Vektor ko'paytma qo'shishga nisbatan taqsimot xossasiga ega, ya‘ni
   

ax(b + с )= axь+ax с, (a+b)x с=ax с+b x с.

4. 
   Vektor ko'paytma ko'paytuvchi vektorlardan biri nol vektor bo'lganda yoki vektorlar kollinear bo'lgandagina nolga teng bo'ladi.
   

Bu xossadan istalgan vektorni o'zini-o'ziga vektor ko'paytmasi nol vektorga tengligi, ya‘ni а x а = 0 ekani kelib chiqadi. Jumladan dekart bazisi i, j, к uchun i x i = j x j=к x к = 0 ga ega bo'lamiz.

1.