4-маvzu. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechimini topish usullari va uning xossalari. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama

Izoh 1.5.1. Agar (1.5.1) differensial tenglamaning bitta xususiy yechimi ma’lum bo‘lsa, u holda uning umumiy yechimi bitta kvadratura yordamida topiladi.
Isbot. Aytaylik funksiya (1.5.1) differensial tenglamaning xususiy yechimi bo‘lsin. U holda (1.5.1) tenglama

ayniyatga aylanadi. Bu tenglikni (1.5.1) tenglamadan ayirsak quyidagi

munosabat hosil bo‘ladi. Bundan

kelib chiqadi. Bu yerda C-ixtiyoriy o‘zgarmas son.
Izoh 1.5.2. Agar (1.5.1) differensial tenglamaning ikkita xususiy yechimi ma’lum bo‘lsa, u holda uning umumiy yechimi kvadraturasiz topiladi.
Isbot. Faraz qilaylik va funksiyalar (1.5.1) differensial tenglamaning xususiy yechimlari bo‘lsin. U holda bu xususiy yechimlarni ushbu

ko‘rinishda yozish mumkin. Chunki (1.5.1) differensial tenglamaning umumiy yechimini

ko‘rinishda yozish mumkin. Bu yerda C-ixtiyoriy o‘zgarmas son.
Yuqoridagi tengliklardan

munosabat kelib chiqadi. Bundan quyidagi

tenglikni olamiz.
Izoh 1.5.3. Agar funksiyalar (1.5.1) differensial tenglamaning yechimlari bo‘lsa, u holda

munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Haqiqatan ham (1.5.13) ga asosan yechimlarni ushbu

ko‘rinishda yozish mumkin. Bundan foydalanib quyidagi ifodaning qiymatini topamiz:

Мisolar yechish namunasi:
1-Мisol. differensial tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamani quyidagica yozib olamiz:
.
Bundan

bo’ladi. Lagranj usulidan foydalanamiz. Buning uchun mos bir jinsli tenglama tuzamiz:

Bu esa o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. Bu tenglamani integrallaymiz, ya’ni:
,
Endi Lagranj usulini qo’llaymiz. Buning uchun deb, -ni hosil qilamiz. Bundan hosilasini hisoblab tenglamaga qo’yib, soddalastiramiz:
,
Bundagi oxirgi tenglikni integrallab ekanini topamiz. Buni hisobga olib,

ko’rinishdagi umumiy yechimni topamiz.
Mustaqil yechish uchun mashqlar: [5], §5, №136-150.
Savollar:

1. 
   Qanday tenglamaga chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi?
   
2. 
   Qanday tenglamaga chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglama deyiladi?
   
3. 
   O‘zgarmasni variatsiyalash usulini qo’llash uchun yechimni qanday ko’rinishda izlaymiz?
   
4. 
   Bernulli usulini qo’llash uchun yechimni qanday ko’rinishda izlaymiz?
   

Koshi usulini qo’llash uchun yechimni qanday ko’rinishda izlaymiz?