4-mavzu: Egri chiziqlar oilasi. 1-tartibli differensial tenglamalarning maxsus yechimlari. To’la differensialli tenglamalar

4-mavzu: Egri chiziqlar oilasi. 1-tartibli differensial tenglamalarning maxsus yechimlari. To’la differensialli tenglamalar.
Egri chiziqlar oilasi: (1)

(1) oilaning egri chizig’iga o’tkazilgan urinmaning burchak koeffitsienti: (2)

O’ramani topish uchun:

(3)

1-m i s o l. tenglama markazlari o’qida joylashgan R radiusli aylanalar oilasini beradi. Bu oilaning o’ramalari va to’g’ri chiziqlardir (1-rasmga qarang).

2-m i s o l. aylanalar oilasining o’ramasini (6) sistema yordamida aniqlang.

Yechish. Oila tenglamasini S bo’yicha differentsiallaylik:

.

U holda (6) sistema bu misol uchun quyidagicha bo’ladi:

Bu sistemadan S ni yo’qotsak:

yoki

hosil bo’ladi. Shu natijaga biz boshqa usul bilan kelgan edik. Ma’lumki, bu o’rama edi. Bu yerda ham aylana statsionar nuqtalarga ega bo’lmagani uchun - o’rama tenglamasi, degan xulosaga kelamiz.

3 - m i s o l . yarimkubik parabolalar oilasining o’ramasini toping.

Yechish. Berilgan tenglamani S parametr bo’yicha differentsiallaymiz:

.

Bundan S ni topib, oila tenglamasiga qo’ysak:

bo’ladi. Bu o’qining tenglamasi. Uni o’ramani yoki statsionar nuqtalarning geometrik o’rni ekanligiga ishonch hosil qilish uchun berilgan oilaning statsionar nuqtalarini topaylik. Buning uchun berilgan tenglamani va bo’yicha differensiallaylik:

Bundan , ekanligikelibchiqadi. Sgaharxilqiymatlarbersak, statsionarnuqtalar o’qini to’lg’izadi, ya’ni o’qi statsionar nuqtalarning geometrik o’rni ekan (124-rasmga qarang).

4 - m i s o l . oilaning o’ramasi va statsionar nuqtalarining geometrik o’rnini toping.

Yechish. Tenglamani S bo’yicha differentsiallaylik:

yoki (8)

Buni berilgan tenglamaga qo’ysak:yoki

hosil bo’ladi. Bundan S ning ikkita qiymatini topamiz: S₁=, .

Agar (8) ga birinchi qiymatni qo’ysak:yoki

tenglamani hosil qilamiz. Agar (8) ga ikkinchi qiymatni qo’ysak:

yoki

kelib chiqadi. Topilgan chiziqlarning birinchisi statsionar nuqtalarning gelmetrik o’rnini, ikkinchisi esa o’ramani beradi (125-rasmga qarang).