4. Shartli ehtimоllik. Hоdisalarning bog`liqsizligi

4. Shartli ehtimоllik. Hоdisalarning bog`liqsizligi.
1-ta’rif. hodisaning hodisa ro‘y bergandagi shartli ehtimolligi deb,
nisbatga aytiladi. Bu ehtimollikni orqali belgilaymiz.

5. To’la ehtimоllik. Bеyеs fоrmulalari.

Biror A hodisa hodisalarning to‘la guruhini tashkil etadigan B_1, B₂, … B_n hodisalarning (ular gipotezalar deb ataladi) biri bilan ro‘y berishi mumkin bo‘lsin. Bu gipotezalarning ehtimollari ma’lum, ya’ni P(B₁), P(B₂), …P(B_n) berilgan. Bu gipotezalarning har biri amalga oshganida A hodi-saning ro‘y berish shartli ehtimollari ham ma’lum, ya’ni P(A/B₁), P(A/B₂), …P(A/B_n) ehtimollar berilgan. U holda A hodisaning ehtimoli “to‘la ehtimol” formulasi deb ataluvchi quyidagi formula bilan aniqlanadi.

Birgalikda bo‘lmagan, hodisalarning to‘la guruhini tashkil etadigan B₁, B_{2, …} B_n hodisalar bеrilgan va ularning P(B₁),P(B₂),…P(B_n) ehti-mollari ma’lum bo‘lsin. Tajriba o‘tkaziladi va uning natijasida A hodisa ro‘y bеradi deylik, bu hodisaning har bir gipotеza bo‘yicha shartli ehtimoli, ya’ni P(A/B₁), P(A/B₂),… P(A/B_n) ma’lum. A hodisa ro‘y bеrishi munosabati bilan gipotеzalarning ehtimollarini qayta baholash uchun, boshqacha aytganda, P(B₁/A), P(B₂/A), …P(B_n/A) shartli ehtimolini topish uchun

6.Bernulli sxemasi
Agar bir necha tajribalar o‘tkazilayotganida, har bir tajribada biror A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi boshqa tajriba natijalariga bog‘liq bo‘lmasa, bunday tajribalar bog‘liqsiz tajribalar deyiladi.
n ta bog‘liqsiz tagribalar o‘tkazilayotgan bo‘lsin. Har bir tajribada A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi va ro‘y bermasligi ehtimolligi bo‘lsin.
Masalan, 1) nishonga qarata o‘q uzish tajribasini ko‘raylik. Bu yerda A={o‘q nishonga tegdi}-muvaffaqqiyat va ={o‘q nishonga tegmadi}-muvaffaqqiyatsizlik; 2) n ta mahsulotni sifatsizlikka tekshirilayotganda A={mahsulot sifatli}-muvaffaqqiyat va ={mahsulot sifatsiz}-muvaffaqqiyatsizlik bo‘ladi.
Bu kabi tajribalarda elementar hodisalar fazosi faqat ikki elementdan iborat bo‘ladi: , bu erda -A hodisa ro‘y bermasligini, -A hodisa ro‘y berishini bildiradi. Bu hodisalarning ehtimolliklari mos ravishda p va q (p+q=1) lar orqali belgilanadi.
Agar n ta tajriba o‘tkazilayotgan bo‘lsa, u holda elementar hodisalar fazosining elementar hodisalari soni 2ⁿ ga teng bo‘ladi. Masalan, n=3 da , ya’ni to‘plam 2³=8 ta elementar hodisadan iborat. Har bir hodisaning ehtimolligini ko‘paytirish teoremasiga ko‘ra hisoblash mumkin:


n ta bog‘liqsiz tajribada A hodisa m marta ro‘y berish ehtimolligini hisoblaylik:

Har bir qo‘shiluvchi ko‘paytirish teoremasiga ko‘ra ga teng. Demak,
.
Agar n ta bo‘g‘liqsiz tajribaning har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi p ga, ro‘y bermasligi q ga teng bo‘lsa, u holda A hodisaning m marta ro‘y berish ehtimolligi quyidagi ifodaga teng bo‘ladi:
. (1)
(1) formula Bernulli formulasi deyiladi. ehtimolliklar uchun tenglik o‘rinlidir. Haqiqatan ham,

Nyuton binomi formulasida deb olsak,
, ya’ni
bo‘ladi.

O‘z o‘zidan tushunarliki, o‘tkazilayotgan tajribaning natijalari (elementar hodisalar) eng kamida 2 ta bo‘lishi kerak. Tajriba bilan bog‘liq elementar hodisalar soni 2 ga teng bo‘lgan holni Bernulli sxemasi deb atashadi. Bu sxema uchun har bir tajriba natijasida biror A hodisaning ro‘y berishi yoki ro‘y bermasligi kuzatiladi, deb tushunish mumkin. Agar A hodisa ro‘y bersa, shartli ravishda “yutuq”, ro‘y bermasa “yutqiziq” deb hisoblab, “yutuq” qa 1 ni, “yutqiziq” qa 0 mos qo‘ygan bo‘laylik. Bu holda bosh to‘plam 2 ta elementlardan iborat deb, undan qaytariladigan sxema bo‘yicha hajmi n ga teng bo‘lgan tanlanma olsak, bu tanlanmalar soni ga teng bo‘ladi. Endi p ni [0,1] oralig‘idagi ixtiyoriy son deb hisoblab, hamma tanlanmalar

to‘plamida p( ) funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: agar tanlanmada ta 1 bo‘lsa,
.
Aniqlangan p( ) funksiya ehtimollik taqsimotini berishi uchun

ekanligini isbot etish kerak bo‘ladi.
Oson tushunish mumkinki, k ta 1 larni n joyga usul bilan joylashtirish mumkin. Demak, k ta elementlari 1 ga teng bo‘lgan tanlanmalar soni ham ga teng, ya’ni
.
Bu yerda Nyuton binomi formulasidan foydalanildi va bir vaqtning o‘zida tanlanmada k ta 1 lar borligi ehtimolligi

topildi. Ehtimolliklar taqsimoti

binomial taqsimot deb ataladi va uni quyidagicha tushunish mumkin. Har bir tajriba natijasida 2 ta elementar hodisalar ro‘y berishi mumkin:
1 (“yutuq”) yoki 0 (“yutqiziq”). Agar ketma-ket n marta tajriba o‘tkazilsa, bu tajribalarda “yutuq” (1) k marta ro‘y berishlik ehtimolligiga ega bo‘ladi.
Keltirilgan tajribalar ketma-ketligi ( ( tanlanma dagi 1 lar soni) elementar ehtimolliklarni hisobga olgan holda) Bernulli sxemasi deyiladi.
Tekshirib ko‘rish qiyin emaski, tanlanmada 1 ning fiksirlangan s-nchi joyda bo‘lish ehtimolligi p ga teng. Haqiqatan ham, tanlanmadan s-nchi elementni tushirib qoldirib,

tanlanmani hosil qilamiz. Bu bosh to‘plam dan qaytariladigan sxema bo‘yicha hajmdagi tanlanma bo‘ladi. Demak,
.
Aytib o‘tilgan fikrlarni takrorlab, 1 ning tanlanmada fiksirlangan joylarda bo‘lish ehtimolligi ga teng ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Endi ehtimollikning ning har xil qiymatlarida qanday o‘zgarishini o‘rganaylik. Buning uchun quyidagi nisbatni qaraymiz:

Demak, nisbat ning o‘sishi bilan monoton ravishda kamayadi va bir vaqtda
bo‘lganda,
bo‘lganda.
Bu munosabatlar ehtimollikning o‘zgarishi bilan oldin o‘sishini ( qiymatlarda), keyin esa kamayishini ( qiymatlarda) ko‘rsatadi (bu yerda sifatida ning butun qismi olingan). Keltirilganlardan kelib chiqadiki,
.
Endi ehtimollikni o‘rganaylik. Bu yig‘indi Bernulli sxemasida “yutuqlar” soni dan ko‘p bo‘lmaslik ehtimolligini ifodalaydi. Agar bo‘lsa,

Keltirilgan baho va larning katta qiymatlarida, nisbat esa 1dan farqli bo‘lgan hollarda ancha aniq bo‘ladi.
Bu holda

yig‘indi geometrik progressiya yig‘indisi dan kam farq qiladi va quyidagi taxminiy tenglik o‘rinli bo‘ladi:
. (1)
Masalan, n=30, p=0,7 , k=16, bo‘lsa, bo‘ladi. Bu holda
.
Demak, (1) ifodaning o‘ng tomoni .
Ehtimollik ning haqiqiy qiymati esa bo‘lganda 0,040 ga teng (verguldan keyin uch xonalik aniqlik bilan).
Endi ta elementdan iborat bo‘lgan bosh to‘plamdan qaytarilmaydigan sxema bo‘yicha olingan tanlanmaga qaytamiz. Agar bosh to‘plamning ta elementga bitta ko‘rinishda, qolgan ta elementi ikkinchi ko‘rinishda bo‘lsa, biz gipergeometrik taqsimotga ega bo‘lamiz: