4. Zusammenhang von elektrischer Feldstärke und Spannung eines Kondensators; Kapazität eines Kondensators Zusammenhang von elektrischer Feldstärke und Spannung eines Plattenkondensators

4. Zusammenhang von elektrischer Feldstärke und Spannung

eines Kondensators; Kapazität eines Kondensators

Zusammenhang von elektrischer Feldstärke und Spannung eines Plattenkondensators

Überlegung:

Eine positive Probeladung Q

  

wird aufgrund des elektrischen Feldes

zur negativen Platte gezogen.

Für die Zeitspanne t kann der Plattenkondensator als Widerstand

angesehen werden, da die Ladung genau die Zeit t benötigt um vom

+ zum – Pol zu gelangen. Die elektrische Arbeit W = U · I · t = U · Q

wird daher verrichtet.  In diesem Fall (homogenes Feld) ist diese

gleich der Arbeit der Feldkraft.

 U · Q = Q · E · d

 

d

U

E

=

Kapazität eines Kondensators

Versuch:

Eine Kondensator wird mit

Gleichspannung aufgeladen. Sie

besitzt nun die Ladung Q und  wird

nun von der Spannungsquelle

getrennt, um zu verhindern, dass

weitere Elektronen nachfließen.

Die Kondensatorplatte wird nun

über ein Ladungsmessgerät

entladen.

Bei verschiedenen Spannungen ergaben sich folgende Wertepaare:

U in V

25

50

75

100

Q in nA s

16

32

48

65

Daraus ergibt sich: Q ist proportional zu U, also Q / U  = konst.

 Definition der Kapazität eines Kondensators: 

U

Q

C

=

  Einheit: [C] = 1 As V

-1

 = 1 F

Zu Ehren von Michael Faraday wird diese Einheit auch 1 Farad (1 F) genannt.

Die Einheit 1 F ist sehr groß. Bei technischen Kondensatoren verwendet man daher meist kleinere Einheiten:

1 Mikrofarad = 1ì F = 1 · 10

-6

 F

1 Nanofarad = 1nF = 1 · 10

-9

 F

1 Pikofarad = 1pF = 1 · 10

-12

 F

Kapazität eines Plattenkondensators in Abhängigkeit der geometrischen Größe

(Geom. Größen: Länge; Breite; Höhe)

Zusammenhang zwischen Kapazität und Plattenfläche:

Durch Überlegung kommt man zur anschließend aufgeführten Schlussfolgerung:

Die Kapazität eines Plattenkondensators (C) ist bei konstanter Spannung und konstantem Plattenabstand direkt

proportional zur Plattenfläche (A), da sich bei doppelter Fläche die doppelte Ladung ergibt.

C 

∼

 A

Diese Tatsache kann experimentell nachgewiesen werden.

Zusammenhang zwischen Kapazität und Plattenabstand (d):

Überlegung:

 

d

E

U

d

U

E

⋅

=

⇒

=

;

d

E

Q

C

U

Q

C

⋅

=

⇒

=

Versuch:

An einen Plattenkondensator der Fläche A = 8,1dm² wird bei verschiedenen Abständen (d) der

Kondensatorplatten eine konstante Spannung U = 50V angelegt. Dabei wird jeweils die sich auf dem

Kondensator befindende Ladung Q gemessen:

d          





 mm

-1

2,0

3,0

4,0

Q         





 10

-8

As

1,5

1,0

0,7

C=Q/U





10

-10

F

3,0

2,0

1,4

C*d      





10

-10

mmF

6,0

6,0

5,6

⇒

 

C 

∼

 1/d  

Kapazität eines Plattenkondensators:

Insgesamt kann nun gefolgert werden:

Aus 

C

∼

A 

bei konstantem d

Und 

C

∼

1/d  bei konstantem A

Folgt 

C

∼

A/d

⇒

⇒

d

A

C

0

ε

=

(Kapazität eines Plattenkondensators im Vakuum oder in der Luft)

ε

0

 entspricht der beim  Coulomb – Gesetz vorkommenden elektrischen

Feldkonstante und hängt nicht vom verwendetem Kondensator ab:

ε

0 

= 8,8542*10

-12 

CV

-1

m

-1

Die Kapazität eines Kondensators kann durch die Dielektrizitätskonstante 

ε

r

 erweitert werden, wobei  

ε

r 

v o m

verwendetem Material abhängt.

d

A

C

r

⋅

⋅

=

ε

ε

0

Beispiele für relative Dielektrizitätszahlen:

Aufgaben

S. 27:

1.

 

geg.: U= 2,5 kV

a)

 

geg.: Q

P

= 6,4 ·10

-8

 C; ges.: W

el

W

el

= U · Q

P 

= 2500V ·  6,4 ·10

-8

 C = 1,6 ·10

-4

J

b)

 

geg.: d= 3,5mm = 0,0035m ; ges.: E

E= U / d = 2500V / 0,0035m = 7,1·10

5 

V / m

2.

 

geg.: Q > 0 ; Bezugsniveau von  E

p

 :  negative Platte

ges.: Beweis:  E

k

 an negativer Platte = Q · U

E

k  

= E

p

+ = Q · E · s ; E = U / d ; s d

 = Q · (U / d) · d = Q · U

3.

 

geg.: Q

e

= 1,6 ·10

-19

C; U= 2,0kV=2000V; d=4,0 cm

a) geg.: Q > 0; x= 1,0cm(0 cm; 2,5 cm; 4 cm) ; s= d – x; m= 1,67 ·10

-27

kg;

    ges.: E

p

    E

p

= Q · s · U / d = 1,6 ·10

-19

C · s · 2000V / 4cm

    für s = 3,0cm   E

p

= 2,4 ·10

-16 

J

für s = 4cm   E

p

= 3,2 ·10

-16

 J

für s = 1,5cm   E

p

= 1,2 ·10

-16

 J

für s = 0cm   E

p

= 0 J

zu b) v =

 

(2·E

p x

/m)

1/2 

=(2· 1,2 ·10

-16

 J / 1,67 ·10

-27

kg)

1/2 

= 3,8 · 10

5

m/s

b)

 

geg.:  x= 1,5cm

ges.: v

E

p x

= E

k

 = ½ · m · v

2

 v = (2·E

p x

 / m)

½

     E

p x

 = Q · E ·  x = konst; m= konst

       v unabhängig vom Ausgangspunkt

c)

 

geg.: Q < 0; s= 1,0cm(0 cm; 2,5 cm; 4 cm) ;  x= 1,5cm; 9,1 ·10

-31

kg

ges.: E

p

; v

E

p

= Q · s · U / d = 1,6 ·10

-19

C · s · 2000V / 4cm

     für s = 1,0cm   E

p

= 0,8 ·10

-16 

J

     für s = 0cm   E

p

= 0 J

     für s = 2,5cm   E

p

= 2,0 ·10

-16

 J

     für s = 4cm   E

p

= 3,2 ·10

-16

 J

zu b) v = (2·E

p x

/m)

1/2  

= (2· 1,2 ·10

-16

 J / 9,1 ·10

-31

kg)

1/2

 = 1,6 · 10

7 

m / s

5. Ein Elektron(m=9,1*10

-31

kg) hat in der Mitte eines Plattenkondensators (d=6,0cm;

U=60V) die Geschwindigkeit v

0

 = 2.0*10

6

ms

-1

; es bewegt sich in Richtung der

elektrischen Feldlinien.

a) Welche elektrische Feldkraft wirkt auf das Elektron? Berechnen sie ihren Betrag und

geben sie die Richtung an.

b) Weshalb wird das Elektron abgebremst? In welcher Entfernung von der Mitte des

Kondensators kehrt es um?

c) Mit welcher Geschwindigkeit erreicht das Elektron dann die positive Platte?

Lösung:

a)

Geg:

U = 60V; d = 6,0cm; Q = 1,6021*10

-19

C

Ges:

Feldkraft F

Lös:

F = Q*E = Q*U/d = 1,6021*10

-19

C*60V/0,06m = 1,6*10

-16

N

Das Elektron bewegt sich in Richtung Minuspol.

b)

Geg:

F =   1,6*10

-16

N; m = 9,1*10

-31

kg; v

0

 = 2.0*10

6

ms

-1

;

Ges:

x

Lös:

x = v

2

/2*a = v

2

/(2*F/m) = (2.0*10

6

ms

-1

)

2

/(2*1,6*10

-16

N/

9,1*10

-31

kg) = 1,1cm

Das Elektron wird abgebremst, weil sich gleichnamige Ladungen abstoßen.

c)

Geg:

 F =   1,6*10

-16

N; m = 9,1*10

-31

kg; x

ges 

= 1,1cm + 3cm = 4.1cm

Ges:

v

Lös:

v = (2*F/m*x

ges

)

1/2

 = (2*1,6*10

-16

N/9,1*10

-31

kg*0,041m)

1/2

 =

3,8*10

6

ms

-1