49-ихтисослашган давлат умумтаълим мактаби ЮҚори даражали тенгламаларни ечиш услубий қЎлланма

4. Горнер схемасидан фойдаланиб тенгламаларни ечиш

Юқори даражали тенгламаларни Горнер схемасидан фойдаланиб ечишни ҳам юқорида келтирилган аниқ мисол ёрдамида кўриб чиқамиз.

4.1-мисол. Тенгламани ечинг.

5x⁴ - 3x³ - 4x² -3x +5 = 0

Берилган тенламани ечиш учун қуйидагича жадвал ҳосил қилинади. Жадвалда бажарилган амаллар тушунарли бўлиши учун, йўналиш кесмаларидан (стрелкалардан) фойдаланилади.

Жадвалнинг биринчи устунида тенгламанинг тахминий илдизлари жойлашади. Тенгламанинг тахминий илдизлари 2-мавзуда кўриб ўтилганидек топилиши мумкин. Мисолда тахминий илдизлар -1; 1; -5 ва 5 бўлиши мумкин. Жадвалнинг биринчи устунига тахминий илдизларни кетма-кет қўйиб ҳисоблаш мумкин.

Жадвалнинг биринчи сатрида коэффициентлар (тенгламадаги x ўзгарувчи олдидаги сонлар) жойлашган.
Дастлаб жадвалнинг иккинчи сатр, биринчи устунига тенгламанинг тахминий илдизи -1 қиймат киритилади ва кейинги устунлар тўлдирилиши қуйидаги расмларда батафсил келтирилади.

Расмда кўриниб турганидек, биринчи коэффициент ҳеч қандай ўзгаришсиз кейинги сатрга кўчирилади. Жадвалда иккинчи сатр учинчи катакнинг ҳисобланиши қуйидаги расмда келтирилган бўлиб, -1 ∙ 5 + (-3) = -8 амалининг натижаси киритилган:

Ҳудди юқорида бажарилганидек, тўртинчи катакни ҳам -1∙(-8) + (-4) = 4 каби ҳисоблаш мумкин:

Бешинчи катак -1 ∙ 4 + (-3) = -7 каби ҳисобланади:



Олтинчи катак -1 ∙ (-7) + 5 = 12 каби ҳисобланади:

Жадвалга эътибор берилса, жадвалнинг иккинчи сатр, иккинчи катагига тенгламанинг биринчи коэффициенти ёзилган. Бу катакка доимо биринчи коэффициент ёзилади. Ҳисоблаш жараёнидан сўнг жадвалнинг иккинчи сатр, охирги катагида ҳосил бўлган қийматга эътибор қаратилади. Ушбу қиймат 0 (ноль) га тенг бўлса, -1 тенгламанинг илдизи эканлиги, акс ҳолда эса, -1 тенгламанинг илдизи бўлмаслиги келиб чиқади. Бизнинг мисолда -1 тенгламанинг илдизи эмас. Чунки охирги катакда 0 (ноль) қиймат ҳосил бўлмади.

Кейинги қадамда жадвалнинг иккинчи сатр, биринчи катагига тенгламанинг илдизи бўлиши мумкин бўлган 1 қиймат киритилади ва юқорида келтирилган ҳисоблаш ишлари бажарилади.




(x - 1)(5 ∙ x³ + 2 ∙ x² - 2 ∙ x - 5) = 0

Жадвалда кўриниб турганидек, охирги катакда 0 (ноль) қиймат ҳосил бўлди. Хулоса қилиш мумкинки, 1 берилган тенгламанинг илдизи экан. Жадвалнинг 2-сатрида эса, 2-мавзуда кўриб чиқилган g(x) учинчи даражали кўпҳаднинг коэффициентлари жойлашган. Жадвалдан фойдаланиб, берилган тенгламани қуйидагича ёзиш мумкин:

(x -1)(5x³ + 2x² - 2x - 5) = 0

Жадвални давом эттириб, иккинчи қавсдаги кўпҳадни ҳам кўпайтувчиларга ажратиш мумкин. Бунда -1 тенгламанинг илдизи бўла олмаслигини эътиборга олган ҳолда, учинчи сатр биринчи катагига яна 1 қийматни киритшдан бошлаш мумкин. Бунда, тенгламанинг иккинчи кўпайтмаси (5x³ + 2x² - 2x - 5 кўпҳадни) кўпайтувчиларга ажратилиши кераклиги сабабли жадвалнинг иккинчи сатр қийматларидан фойдаланилади:

3-сатр, 2-устун: 5 коэффициент ҳеч қандай ўзгаришсиз туширилади;
3-сатр, 3-устун: 1 ∙ 5 + 2 = 7;
3-сатр, 4-устун: 1 ∙ 7 + (-2) = 5;
3-сатр, 5-устун: 1 ∙ (5) + (-5) = 0;


(x - 1)(x - 1)(5x² + 7x + 5) = 0

Жадвалдан кўриниб турибдики, 1 сони 5x³ + 2x² - 2x - 5 = 0 тенгламанинг ҳам илдизи бўлади. 3-сатрда квадрат кўпҳаднинг коэффициентлари жойлашган.

Умумий ҳолда мисолда берилган тенгламани қуйидагича ёзиш мумкин.