49-ихтисослашган давлат умумтаълим мактаби ЮҚори даражали тенгламаларни ечиш услубий қЎлланма

(x - 1)(x - 1)(5x² + 7x + 5) = 0

Учинчи қавсда келтирилган квадрат кўпҳадни Дискриминант усулидан фойдаланиб кўпайтувчиларга ажратиш мумкин. Бу кўпҳад 1.1-мисолда кўриб ўтилганидек Дискриминант нолдан кичик бўлганлиги сабабли, кўпайтувчиларга ажралмайди.

Жавоб: Тенгламанинг илдизи x = 1.

Эътибор берилса, барча мавзуларда битта тенглама турли хил усулларда ечилди. Бундан мақсад, ўқувчи ўзига қулай бўлган усулни танлаши ҳисобланади. Қуйида Горнер схемасидан фойдаланиб, бир нечта мисолларни ечиш жараёнини кўриб чиқамиз. Тенгамаларни ечишда ҳисоблаш жараёнлари келтирилмайди. Фақат жадваллар ҳосил қилинади.

4.2-мисол. Тенгламани ечинг.

3x³ + 10x² + x - 6 = 0 3x³ + 10x² + 1x - 6 = 0


a ₀ = 6 -1; 1; -2; 2; -3; 3; -6; 6

	3	10	1	-6
-1	3	-1∙3+10=7	-1∙7+1=-6	-1∙(-6)+(-6)=0	x1=-1

Жадвал асосида айтиш мумкинки, берилган тенгламани қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин:

3x³ + 10x² + x - 6 = (x + 1)(3x² + 7x - 6) =0


x₁ = -1


3x² + 7x - 6 =0
D = 7² - 4 ∙ 3 ∙ (-6) = 49 + 72 = 121


x₂ = -3; x₃ =

Жавоб: x₁ = -1, x₂ = -3; x₃ =

4.3-мисол. Тенгламани ечинг.

x³ - 2x² - 9 = 0

Берилган тенглама умумий ҳолда қуйидаги кўринишга эга:

1x³ - 2x² + 0 ∙ x - 9 = 0

Тенгламани бундай кўринишда ёзишдан мақсад, мавжуд коэффициентлар тузиладиган жадвалда тўлиқ акс эттирилишини таъминлашдир. Тенгламадан кўриниб турибдики, тенгламанинг озод ҳади 9 га тенг (манфий ёки мусбатлигинг аҳамияти йўқ). 9 сонининг бўлувчилари: сонлари тенгламанинг тахминий илдизлари. Берилган тенгламага асосан қуйидагича жадвал ҳосил қилинади.

	1	-2	0	-9	Коэффициентлар
-1	1	-3	3	-12	-1 илдиз бўла олмайди. Кейинги ҳисоблаш ишларида бу сатр маълумотларидан фойдаланилмайди.
1	1	-1	-1	-10	1 илдиз бўла олмайди. Кейинги ҳисоблаш ишларида бу сатр маълумотларидан фойдаланилмайди.
-3	1	-5	15	-54	-3 илдиз бўла олмайди. Кейинги ҳисоблаш ишларида бу сатр маълумотларидан фойдаланилмайди.
3	1	1	3	0	x1 = 3. Берилган тенглама (x-3)(1x^2 + 1x + 3) = 0 кўринишига келди. Кейинги ҳисоблаш ишларида бу сатр маълумотларидан фойдаланилади.

Жадвал маълумотлари асосида берилган тенгламанинг кўриниши қуйидаги ҳолатга келди:

(x-3)(x² + x + 3) = 0

Иккинчи қавсда келтирилган квадрат кўпҳадни Дискриминант усулидан фойдаланиб кўпайтувчиларга ажратиш мумкин.

x² + x + 3 = 0
D = 1 - 12 = -11 < 0

Тенглама илдизга эмас. Демак, берилган тенгламанинг илдизи битта.

Жавоб: x = 3.

4.3-мисол. Тенгламанинг ечинг.

4x³ + x -1 = 0

Тенгламага эътибор берилса, 2-мавзуда берилган тенгламанинг умумий кўринишидаги a_n ва a₀ коэффициентлар тенг эмас. Шу билан биргаликда a_n ≠ 1. Ушбу тенгламанинг тахминий илдизларини қуйидагича аниқлаш мумкин:

a₀ = 1: бўлувчилари -1 ва 1. p = 1 ёки p = 1 бўлиши мумкин.
a_n = 4: бўлувчилари -1; 1; -2; 2; -4; 4. q = -1, q = 1, q = -2; q = 2, q = -4 ёки q = 4 бўлиши мумкин.
Демак, тенгламанинг тахминий илдизлари нисбат орқали аниқланиши мумкин. Яъни, тенгламанинг тахминий илдизлари сонлари бўлиши мумкин.
Тенгламани ечиш учун жадвал ҳосил қиламиз. Эътибор беринг, иккинчи даражали ўзгарувчи тенгламада берилмаган. Хулоса қилиш мумкники, иккинчи даражали ўзгарувчининг коэффициенти 0 (ноль) га тенг.

	4	0	1	-1	Тенгламанинг кўриниши
-1	4	-4	5	-6	ўзгаришсиз қолди
1	4	4	5	4	ўзгаришсиз қолди
	4	-2	2	0	(x + )(4x^2 - 2x +2) = 0

Жадвал маълумотларидандан кўриниб турганидек берилган тенглама қуйидагича кўриишга эга бўлди:

(x + )(4x² - 2x +2) = 0


x + = 0 x₁ =


4x² - 2x +2 = 0 2x² - x + 1 = 0 D = -7 < 0

Жавоб: x =

5. Мустақил ишлаш учун мисоллар

Қўлланмада юқори даражали тенгламаларни ечишнинг бир нечта усуллари мисоллар ёрдамида кўриб чиқилди. Ўқувчи ўзига ёққан усуллардан фойдаланиб қуйида келтириладиган тенгламаларни мустақил ечиши мумкин. Ўқувчи англаганидек, юқорида келтирилган усуллардан кўпҳадни кўпҳадга бўлиш ва бўлиш натижасидаги қолдиқни топиш масалаларида ҳам кенг қўллаш мумкин.

5.1. 3x⁶+9x⁵−28x⁴+6x³−30x²−30x+100 = 0 тенгламанинг илдизлари 2 ва -5 бўлишини турли усулларда текширинг.
5.2. x⁶+2x⁵−21x⁴−20x³+71x²+114x+45 = 0 тенгламанинг барча бутун илдизларини топинг.
Тенгламаларни ечинг:
5.3. x³ + 6x² - 25x + 18 = 0;
5.4. х³ + 4х² + х – 6 = 0;
5.5. x³ + 5x² + 15x + 27 = 0;
5.6. x⁵ - x⁴ - 16 = 0;
5.7. x⁴ + x³ - 2x² - 3x -3 = 0;
5.8. А(х) = х³ - 2х² + 2х - 1 кўпҳадни х - 1 иккиҳадга бўлгандаги Q(x) бўлинма ва R(X) қолдиқни топинг. Бунда А(х) = (х - 1)Q(x) + R(X);
5.9. А(х) = 4х⁵ - 7х⁴ + 5х³ - 2х + 1 кўпҳадни х - 3 иккиҳадга бўлгандаги Q(x) бўлинма ва R(X) қолдиқни топинг. Бунда А(х) = (х - 1)Q(x) + R(X);
5.10. А(х) = 2x³ - x² + 4x + 13 кўпҳадни х - 1 иккиҳадга бўлгандаги Q(x) бўлинма ва R(X) қолдиқни топинг. Бунда А(х) = (х - 1)Q(x) + R(X);
5.11. 2x³ - 11x² -12x + 9 кўпҳад иккиҳадга қолдиқсиз бўлинишини текширинг.

6. Жавоблар
5.1. Бўлади. 5.2. -1; 3; -5. 5.3. 1; 2; -9. 5.4. 1; -2; -3. 5.5. -3. 5.6. 2. 5.7. . 5.8. Q(x) = х² - х + 1 , R(x) = 0. 5.9. Q(x) = 4х⁴ + 5х³ + 20х² + 60х +178, R(x) = 535. 5.10. Q(x) = 2х³ - x² - 2х + 2 , R(x) = 15. 5.11. Бўлинади.