49-ихтисослашган давлат умумтаълим мактаби ЮҚори даражали тенгламаларни ечиш услубий қЎлланма

49-ихтисослашган давлат умумтаълим мактаби
ЮҚОРИ ДАРАЖАЛИ ТЕНГЛАМАЛАРНИ ЕЧИШ
УСЛУБИЙ ҚЎЛЛАНМА


Оққўрғон
1. Юқори даражали тенгламаларни ечишнинг умумий усули


a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +…+ a₁x + a₀= 0 (1)

кўринишидаги тенгламалар юқори даражали тенгламалар дейилади. Бу ерда:

a_n, a_n-1, … a₁ - коэффициентлар, a_n ≠ 0,
a₀ - озод ҳад,

Берилган n-даражали тенгламанинг энг кўпи билан n та ҳақиқий илдизи мавжудлигини барча ўқувчилар яхши билади. Юқори даражали тенгламалар асосий ҳолларда юқори даражали кўпҳадни кўпайтувчиларга ажратиш орқали ечилади. Яъни, юқори даражали кўпҳадни

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +…+ a₁x + a₀= a_n(x - x₁)(x - x₂) … (x - x_n-1)(x - x_n)

каби кўпайтувчиларга ажратиш ёрдамида (1) тенгламанинг кўринишини қуйидагича ёзиш мумкин бўлади:

a_n(x - x₁)(x - x₂) … (x - x_n-1)(x - x_n) = 0 (2)

(2) тенгламанинг илдизлари ҳар бир қавсни 0 (ноль) га тенглаш орқали топилиши мумкин. Демак, (1) тенгламанинг илдизлари х₁, х₂, ... , х_n га тенг. Айрим ҳолларда юқори даражали тенгламанинг ҳақиқий илдизлари сони n тадан кам бўлиши мумкин. Бундай тенгламалар кейинчалик мисолларда кўриб чиқилади.

Шу ўринда ўқувчиларга эслатиб ўтиш керакки, тенгламани ечиш деганда, берилган тенгликни қаноатлантирувчи барча ҳақиқий сонларни топиш тушунилади. Тенгликни қаноатлантирувчи мавжуд бўлган барча ҳақиқий соннларни топмаслик, тенгламанинг ечилмаганлигини англатади.
Қуйида 4-даражали тенглама кўпҳадни кўпайтувчиларга ажратиш усули ёрдамида ечилган.

1.1-мисол. Тенгламани ечинг.

5x⁴ - 3x³ - 4x² -3x +5 = 0 (3)

Ечиш: 4-даражали кўпҳад кўпайтувчиларга ажратилади:

5x⁴ - 3x³ - 4x² -3x +5 = 5x⁴ - 5x³ + 2x³ - 2x² - 2x² + 2x -5x +5 =
= 5x³(x - 1) + 2x²(x - 1) - 2x(x - 1) -5(x - 1) = (x - 1)(5x³ + 2x² - 2x -5) =
= (x-1)(5x³ - 5x² +7x² - 7x + 5x -5) = (x - 1)(5x²(x - 1) + 7x(x - 1) +5(x -1)) =
= (x - 1)(x - 1)(5x² + 7x + 5)

Мисолнинг охирги қавси ичидаги ифодага эътибор берилса, квадрат кўпҳад эканлигини кўриш мумкин. Ушбу кўпҳадни квадрат тенгламани ечиш усули ёрдамида кўпайтувчиларга ажратиш мумкин.

5x² + 7x + 5 = 0 квадрат тенглама учун дискриминант ҳисобланади:
D = 7² - 4 ∙ 5 ∙ 5 = 49 - 100 = -51 < 0

D < 0 бўлганлиги учун 5x² + 7x + 5 = 0 тенглама ҳақиқий илдизларга эга эмас. Бундан келиб чиқадики, 5x² + 7x + 5 квадрат кўпҳад кўпайтувчиларга ажралмайди.

Демак, юқорида берилган (3) тенгламани қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин:


(x - 1)(x - 1)(5x² + 7x + 5) = 0


(x - 1)²(5x² + 7x + 5) = 0

Юқорида таъкидлаб ўтилганидек, иккинчи қавсдаги тенглама ҳақиқий илдизга эга бўлмаганлиги учун кўпҳад кўпайтувчиларга ажралмайди. Демак берилган тенглама битта: x = 1 илдизга эга. Бошқа ҳеч қандай ҳолатда тенглик ўринли бўлмайди.

Жавоб: x = 1

1.2-мисол. Тенгламани ечинг.

x⁴ - 4 = 0 (4)

Ечиш:

Демак, (4) тенгламани кўринишида ёзиш мумкин. Кўриниб турибдики, 3-кўпайтувчи x нинг ҳар қандай қийматида ҳам 0 (ноль) га тенг бўлмайди. Тенгламани қаноатлантирувчи иккита: ва қийматлар мавжуд.

Жавоб: x₁ = , x₂ = .