49-ихтисослашган давлат умумтаълим мактаби ЮҚори даражали тенгламаларни ечиш услубий қЎлланма

3. Номаълум коэффициентларни топиш усули

Айрим ҳолларда юқори даражали тенгламаларни ечишда номаълум коэффициентларни топиш усулидан ҳам фойдаланиш мумкин. Ушбу усулдан фойдаланишни аниқ мисол ёрдамида тушунтириб ўтамиз.

3.1-мисол. Тенгламани ечинг.

5x⁴ - 3x³ - 4x² -3x +5 = 0 (1)

Тенгламага эътибор берилса, бу тенгламани қуйидагича ёзиб олиш мумкин:

(x + a)(5x³ + bx² + cx + d) = 0 (2)

бу ерда a, b, c ва d лар топиш керак бўлган номаълум коэффициентлар.

(2) тенгликда қавсларни очиб, қуйидагига эга бўламиз:

5x⁴ + bx³ + cx² + dx + 5ax³ + abx² + acx + ad =
= 5x⁴ + (b + 5a)x³ + (c + ab)x² + (d + ac)x + ad = 0 (3)

(1) ва (3) тенгликлардан қуйидаги тенгликларга эга бўламиз:

ad = 5 (4);

d + ac = -3 (5);
c + ab = -4 (6);
b + 5a = -3 (7).

(4) тенглик икки ҳолатда: 1) a = -1; d = -5 ва 2) a = 1; d = 5 қийматларни қабул қилганда ўринли бўлади. a = -1; d = -5 қийматларни (5) тенгликка қўйиш орқали

-5 + (-1) ∙ c = -3 c = -2

тенгликка эга бўламиз. a = -1; d = -5; c = -2 қийматларни (6) тенгликка қўйиш орқали

-2 + (-1) ∙ b = -4 b = 2

тенгликка эга бўламиз. a = -1; b = 2 қийматларни (7) тенгликка қўйиш орқали

2 + 5 ∙ (-1) = -3 тенглик ўринли бўлишини кўриш мумкин.
Биринчи ҳолда барча тенгликлар бажарилганлиги учун, иккинчи a = 1; d = 5 ҳолни кўриб чиқиш шарт эмас.
Демак, изланаётган коэффициентлар a = -1, b = 2, c = -2, d = -5 га тенглигидан (2) тенгликни қуйидагича ёзиш мумкин:


(x -1)(5x³ + 2x² - 2x - 5) = 0 (8)

(8) тенгламанинг иккинчи қавсида жойлашган тенгламани ҳам юқорида келтирилган усулдан фойдаланиб, кўпайтувчиларга ажратиш мумкин.

5x³ + 2x² - 2x - 5 = 0 (9)

тенгламани қуйидагича кўринишда ёзиб, номаълум a, b, c коэффициентларни топишга ҳаракат қиламиз.

(x + a)(5x² + bx + c) =5x³ + bx² + cx + 5ax² + abx + ac =
= 5x³ + (b + 5a)x² + (c + ab)x + ac (10)

(9) ва (10) тенгликлардан қуйидагиларга эга бўламиз:

ac = -5 (11);
c + ab = -2 (12);
b + 5a = 2 (13).

(11) тенглик икки хил ҳолатда: 1) a = -1; c = 5 ва 2) a = 1; c = -5 қийматларни қабул қилганда ўринли бўлади. a = -1; c = 5 қийматларни (12) тенгликка қўйиш орқали

5 + (-1) ∙ b = -2 b = 7

тенгликка эга бўламиз. a = -1; b = 7 қийматларни (13) тенгликка қўйиш орқали

7 + 5 ∙ (-1) = 2 тенглик ўринли бўлишини кўриш мумкин.

Биринчи ҳолда барча тенгликлар бажарилганлиги учун, иккинчи a = 1; d = -5 ҳолни кўриб чиқиш шарт эмас.

Демак, изланаётган коэффициентлар a = -1, b = 7, c = 5 га тенглигидан (10) тенгликни қуйидагича ёзиш мумкин:


(x - 1)(5x² + 7x + 5) = 0

Умумий ҳолда мисолда берилган (1) тенгламани қуйидагича ёзиш мумкин:

(x - 1)(x - 1)(5x² + 7x + 5) = 0

Учинчи қавсда келтирилган квадрат кўпҳадни Дискриминантни топиш усулидан фойдаланиб кўпайтувчиларга ажратиш мумкин. Бу кўпҳад 1.1-мисолда кўриб ўтилганидек Дискриминант нолдан кичик бўлганлиги сабабли, кўпайтувчиларга ажралмайди.

Жавоб: Тенгламанинг илдизи x = 1.