49-ихтисослашган давлат умумтаълим мактаби ЮҚори даражали тенгламаларни ечиш услубий қЎлланма

2. Кўпҳадни кўпҳадга бўлиш усули

Олдинги мавзуда кўриб ўтилган кўпҳадни кўпайтувчиларга ажратиш усули ўқувчиларга бир мунча қийинчилик туғдиради. Шу сабабли бу мавзуда кўпҳадни кўпайтувчиларга ажратишнинг кўпҳадни кўпҳадга бўлиш усули билан танишиб чиқишга ҳаракат қиламиз. Кўпҳадни кўпҳадга бўлиш усули бир қарашда мураккаб туюлсада, айрим тенгламаларни ечишда ўқувчиларга қулайликлар туғдиради.

Бу мавзуни яхши ўзлаштириш учун Безу теоремасини тушуниб олишимиз керак.


f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +…+ a₁x + a₀ (1)

кўринишидаги функция берилган бўлсин. Агар ушбу функцияни 0 (ноль) га айлантирувчи бирон бир x = x₀ сони мавжуд бўлса, у ҳолда (1) функцияни қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин:

f(x) = (x - x₀) g(x) (2)
бу ерда g(x) - n-1 даражали кўпҳад.
Агар g(x) функция


g(x) = b_n-1x^n-1 + … + b₀ (3)

каби ифодаланса, у ҳолда (2) функция қуйидагича кўринишга келади:

f(x) = (x - x₀) g(x) = (x - x₀)(b_n-1x^n-1 + … + b₀) = b_n-1xⁿ + … - x₀b₀ (4)

(1) ва (4) кўпҳадларнинг битта кўпҳад эканлигидан коэффициентлар ўзаро тенглиги келиб чиқади. Яъни:

a_n = b_n-1, …., a₀ = -b₀x₀

тенгликларга эга бўламиз. Агар (1) кўпҳадни бутун коэффициентли кўпҳад деб қарасак, у ҳолда a₀ =-b₀x₀ бутун эканлигидан x₀ сони a₀ озод ҳаднинг бўлувчиси эканлиги келиб чиқади.

Демак,
a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +…+ a₁x + a₀= 0 (1)

тенгламанинг тахминий илдизларини икки хил ҳолат учун қуйидагича аниқлаш мумкин:

1) a_n = a₀ ёки a_n= 1 бўлганда тенгламанинг тахминий илдизларини a₀ озод ҳаднинг бўлувчилари орасидан излаш мумкин. Тенгламанинг тахминий илдизларини топишнинг бундай усули кейинги ўринларда келтириб ўтилади;
2) a_n ≠ a₀ ёки a_n ≠ 1 бўлганда. Бундай ҳолларда a₀ озод ҳаднинг бўлувчилари орасида тенгламани қаноатлантирувчи илдизлар мавжуд бўлмаслиги мумкин. У ҳолда, тенгламадаги a_n коэффициентга эътибор қаратиш керак бўлади. Дейлик, p сони a₀ озод ҳаднинг бўлувчилари бўлсин. q сони эса a_n коэффициентнинг бўлувчилари. Бу ҳолда тенгламанинг тахминий илдизлари нисбат орқали аниқланиши мумкин. Тенгламанинг тахминий илдизларини топишнинг бундай усули қўлланманинг 4.3-мисолида кўриб чиқилган.

2.1-мисол. Безу теоремаси асосида тенгламанинг хеч бўлмаса битта илдизини топинг.

5x⁴ - 3x³ - 4x² -3x +5 = 0

Берилган мисолда a₀ = 5. 5 сонининг бўлувчилари -1; 1; -5 ва 5 сонларидан иборат. Бу сонлар берилган тенгламанинг илдизи бўлиш ёки бўлмаслигини билиш учун x ўзгарувчининг ўрнига кетма-кет берилган сонларни қўйиб кўриш мумкин. Агар, берилган қиймат кўпҳадни 0 (ноль) га айлантирса, демак, бу қиймат тенгламанинг илдизи бўлади.

x = 1: 5 ∙ 1⁴ - 3 ∙ 1³ - 4 ∙ 1² - 3 ∙ 1 + 5 = 5 - 3 - 4 - 3 + 5 = 0

Демак, 1 сони берилган тенгламанинг илдизи.

2.2-мисол. Безу теоремаси асосида тенгламанинг хеч бўлмаса битта илдизини топинг.

x⁴ - 1 = 0


a₀ = 1 -1; 1


x = -1: (-1)⁴ - 1 = 1 - 1 = 0

Демак, -1 берилган тенгламанинг илдизи бўлади.

Ўрганилган билимларни юқори даражали тенгламаларни ечишда қўллаймиз.

2.3-мисол. Тенгламани ечинг.

5x⁴ - 3x³ - 4x² -3x +5 = 0

Юқоридаги 2.1-мисолда тенгламанинг битта илдизи 1 эканлигидан келиб чиққан ҳолда, 5x⁴ - 3x³ - 4x² -3x +5 кўпҳад x - 1 кўпҳадга қолдиқсиз бўлинади дейиш мумкин. Мавзунинг (2) тенглигидаги g(x) функцияни топиш учун 5x⁴ - 3x³ - 4x² -3x +5 кўпҳад x - 1 кўпҳадга қуйидагича бўлиниши мумкин.

Келтирилган бўлиш амалини тушуниш ўқувчиларга қийинчилик туғдирмайди. Ушбу бўлиш амалининг натижасида берилган тенгламани қуйидагича ёзиш мумкин:

(x - 1)(5x³ + 2x² -2x -5) = 0

Иккинчи қавсдаги кўпҳадни яна шу тариқа кўпатувчига ажратиш мумкин.

5x³ + 2x² - 2x - 5 = 0


a₀ = 5 -1; 1; -5; 5


x = -1: 5 ∙ (-1)³ + 2 ∙ (-1)² - 2 ∙ (-1) - 5 = -5 + 2 + 2 - 5 = -6

-1 тенгламанинг илдизи бўла олмайди.

x = 1: 5 ∙ 1³ + 2 ∙ 1² - 2 ∙ 1 - 5 = 5 + 2 - 2 - 5 = 0

1 тенгламанинг илдизи бўлади. Демак, 5x³ + 2x² - 2x - 5 кўпҳад x - 1 кўпҳадга қолдиқсиз бўлинади.

Ушбу бўлиш амалидан кейин берилган дастлабки тенгламани қуйидагича ёзиш мумкин:


(x - 1)(x - 1)(5x² + 7x + 5) = 0

Учинчи қавсдаги квадрат кўпҳадни Дискриминантни топиш усулидан фойдаланиб кўпайтувчиларга ажратиш мумкин. Бу кўпҳад 1.1-мисолда кўриб ўтилганидек Дискриминант нолдан кичик бўлганлиги сабабли, кўпайтувчиларга ажралмайди.

Жавоб: Тенгламанинг илдизи x = 1.

Олдинги мавзуда берилган 1.2-тенгламани берилган усулда ечиш ўқувчиларнинг ўзларига қолдирилади.