5. Bessel funksiyalarining nollari

 
Bessel funksiyasi uchun integral tasavvur 
 
formula chap tomondagi funksiyaning Laurent qatoridir. Kompleks o’zgaruvchilar 
nazariyasidan ma’lumki, qator koeffisienti (bizning holda bu J
n
) uchun quyidagi 
formulaga egamiz: 
n butun son bo’lganda C kontur koordinat boshini o’z ichiga olgan yopiq konturdir, 
masalan, birlik radiusli aylana. 
Birinchi turdagi Bessel funksiyalari. 
Birinchi turdagi Bessel funksiyalari. Ushbu 
yoki 

---

tenglama Bessel tenglamasi deyiladi, bunda v o'zgarmas son tenglamaning indeksi 
deb ataladi. Tenglamani gipergeometrik tenglamadan keltirib chiqarish qiyin emas. 
Buning uchun 
almashtirish bajarsak, 
tenglama hosil bo’ladi. a→ ∞ va b→ ∞ da 
tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglamada almashtirib bajarib 
tenglama kelib chiqadi. Bu tenglama esa Bessel tenglamasining o’zginasidir. v > O 
bo’lsin. Keyingi hisoblashlarni sodsalashtirish maqsadida tenglamada 
almashtirish bajaramiz. U xolda z funksiyani aniqlash uchun 
tenglamaga ega bo'lamiz. Bu tenglamaning yechimini 
darajali qator ko'rinishida izlaymiz. Bundan 
Xosil bo'lgan qatorlarni tenglamaga qo’yib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz: 

---

Aniqmas koeffitsientlar usuliga asosan, x ning barcha darajalari oldidagi 
koeffitsientlarni nolga teng-laymiz: 
bundan 
yuqoridagi tenglamalarga asosan 
Shunday qilib, tenglamaning yechimi ushbu 
qator bilan ifodalanadi. Bunda s
0
— o’zgarmasni ixtiyoriy tanlab olish mumkin. 
Dalamber belgisiga asosan, qatorning x ning barcha qiymatlarida yaqinlashuvchi 
bo’lishini tekshirib kurish qiyin emas. Darajali qatorni hadlab differensiallash 
(yaqinlashish oraligi ichida) hamma vaqt qonuniy bo’lgani uchun qator bilan 
ifodalangan z xaqiqatdan ham tenglamaning yechimi bo’ladi.