Ochiq va yopiq tо‘plamlar

Ochiq va yopiq tо‘plamlar.

Tо‘g`ri chiziqdagi ξ nuqtaning atrofi deb shu nuqtani о‘z ichiga olgan oraliqga aytiladi. Har bir nuqta cheksiz ko`p atrofga ega.

1–ta’rif. Tо‘g`ri chiziqda biror ξ nuqta va E tо‘plam berilgan bо‘lsin. Agar ξ ning har qanday atrofida E tо‘plamning ξ dan farqli kamida bitta nuqtasi bо‘lsa, ξ nuqta E tо‘plamning limit nuqtasi deyiladi.

Bu yerda ξ ning E ga tegishli bo`lishi talab qilinmaydi. Agar ξ  E bо‘lib, ξ elementning biror atrofida E tо‘plamning ξ dan boshqa elementi bо‘lmasa u holda ξ nuqta E tо‘plamning yakkalangan nuqtasi deyiladi.

Izox: a) Limit nuqta tо‘plamga tegishli ham tegishli bo`lmasligi ham mumkin.

b) ξ nuqta YE tо‘plamning limit nuqtasi bо‘lsa, u holdaξ ning  atrofida YE tо‘plamning cheksiz ko`p nuqtalari mavjud. Uni kursatish uchun teskari funksiya ya’ni ξ nuqtaning shunday atrofii mavjudki, bu atrofdagi tо‘plamning son chekli elementlarigina kirgan bо‘lsin. Bu elementlarni, x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, … , x<sub>n</sub> bilan belgilaymiz. Bu holdaξ ning limit nuqta emasligini kursatamiz. nuqtalar orasida ξ ga eng yaqin nuqta bitta yoki ko`pi bilan ikkita bulishi mumkin. ξ dan ulargacha bо‘lgan eng yaqin masofani b bilan belgilaymiz u holda(ξ-, ξ+) oraliq ξ dan boshka (agar ξ YE bо‘lsa) YE tо‘plamga kiradigan birorta nuqtani ham о‘z ichiga olmaydi. Demak ξ nuqta limit nuqta bula olmaydi. Ziddiyat

c) agar bо‘lib, ξ nuqta tо‘plamning limit nuqtasi bо‘lsa u holda ξ nuqta tо‘plamning ham limit nuqtasi bо‘ladi.

d) Chekli tо‘plam birorta ham limit nuqtaga ega emas, uning har bir nuqtasi yakkalangan nuqta bо‘ladi.