5-lekciya Kompleks sanlar temasın oqıtıw metodikası

5-lekciya
Kompleks sanlar temasın oqıtıw metodikası
Reje
1.Haqıyqıy sanlar maydanın keńeytiw hám kompleks sanlar.
2.Kompleks sanlar ústinde ámeller.
1.Haqıyqıy sanlar maydanın keńeytiw hám kompleks sanlar.
Matematikanıń talapları haqıyqıy sanlardıń maydanın keńeytiwdiń oǵada zárúrli ekenin kórsetken edi.Bul maydanda qosıw, alıw, kóbeytiw hám bóliwden basqa dárejege kóteriw ámelinińde orınlanatuǵını belgili.Bul maydanda koren` shıǵarıw, yaǵnıy dárejege kóteriw ámeline keri ámel mudamı orınlana bermeydi.Máselen ańlatpalarına qanday maǵana beriwge bolatuǵınlıǵın biz bilmeymiz. Ápiwayı teńlemedey bolıp kóringen teńlemeleri haqıyqıy sanlar maydanında sheshilmeydi. Solay etip biz mınanday zárúrlikke keldik:haqıyqıy sanlar maydanına jańa sanlardı biriktiriw jolı menen onı keńeytiw hám keńeytilgen kóplik barlıq waqıtta koren` shıǵarıw ámeli orınlanatuǵın sanlı maydandı payda etiwi tiyis.
Bul másele XIX ásirde ǵana birotala sheshildi.Jańa keńeytilgen maydan qanday elementlerge iye bolıwı kerek ekenligin kórip óteyik.Eń aldı menen ol barlıq haqıyqıy sanlardı óz ishine alıwı kerek.Bunnan keyin bull maydanda teńlemesi sheshiletuǵın bolıwı tiyis, sebebi dárejege kóteriwge keri ámel bull maydanda orınlanadı.Kvadratı -1 ge teń bolǵan sandı i háribi menen belgilew hám onı jorıma birlik dep ataw qabıl etilgen. Solay etip i sanınıń anıqlaması boyınsha .Solay etip sanlardıń jańa kópligi a+bi túrindegi barlıq sanlardı kompleks san dep ataymız, bunda a há b erikli haqıyqıy sanlar, al I jorıma birlik.a sanın a+bi kompeks sanınıń haqıyqıy bólimi dep,al bi ańlatpasın kompleks sannıń jorıma bólimi dep ataw qabıl etilgen, b sanı jorıma bólimdegi koefficent dep ataladı.
Eger eki kompleks sannıń haqıyqıy bólimleri hám jorıma bólimindegi koefficenleri teń bolsa, onda olar teń kompleks sanlar boladı. Basqasha aytqanda, tek a=s, b=d bolǵan jaǵdayda ǵana tómendegidey boladı:
a+bi=c+di. Kompleks sanları ushın úlken hám kishi qatnasları anıqlanbaydı.
Kompleks sanlardı qosıw. Qarama-qarsı sanlar.
Anıqlama. (a+c)+(b+d)i kompleks sanı eki a+bi hám s+di kompleks sanlarınıń qosındısı dep ataladı:
(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i
Mısallar.
1. (1+i)+(2+3i)=(1+2)+(1+3)i=3+4i
2. (5+6i)+(7-6i)=(5+7)+(6-6)i=12+0i
Haqıyqıy sanlar kópliginde 0 sanı bar, onı qálegen baeqa haqıyqıy sanǵa qosqanda, ol sol sandı ózgertpeydi yaǵnıy a+0=0 boladı. Kompleks sanlar kópliginde 0+0i sanı sonday san bolıp tabıladı.Haqıyqatındada a+bi sanı qanday bolsada, (a+bi)+(0+0i)= (a+0)+(b+0)i= a+bi.
a+bi hám –a-bi kompleks sanları qarama-qarsı kompleks sanlar dep ataladı.
Kompleks sanlardı alıw.
Bir kompleks sannan ekinshi kompleks sandı alıw ushın, bull sanlardıń haqıyqıy bólimleri ushın hám jorıma bólimindegi koefficentleri ushın alıwdı ayırım orınlaw jetkilikli.
(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i
Mısallar.
1. (5+6i)-(3+7i)=(5-3)+(6-7)i=2-i
2. (2+i)-(9+i)=(2-9)+(1-1)i=-7+0i
3. (3+4i)-(3-i)=(3-3)+(4+1)i=0+5i
4. (7-i)-(7-i)=(7-7)+(-1+1)i=0+0i
Kompleks sanlardı kóbeytiw.
a+bi hám c+di kompleks sanların kóbeytiwdi qarap óteyik:
(a+bi) (c+di)=as+adi+cbi+bdi² =as+(ad+bc)i+bdi²
i sanınıń anıqlaması boyınsha i²=-1. Sonlıqtan bdi²=-bd, demek
(a+bi) (c+di)=(as-bd)+(ad+bc)i
Anıqlama. (as-bd)+(ad+bc)i kompleks sanı eki a+bi hám c+di kompleks sanlarınıń kóbeymesi dep ataladı.
Mısallar.
1. (2+3i) (6-5i)=12-10i+18i-15i²=(12+15)+(18-10)i=27+8i
2. (4+i) (4-i)=16-4i+4i-i²=(16+1)+(-4+4)i=17+0i.
3. (1+i)²=(1+i) (1+i)=1+i+i+i²=(1-1)+2i=0+2i.
Qálegen kompleks sanı ushın (a+bi) (0+0i)=0+0i=0 teńligi durıs boladı.
Kompleks sanlardı bóliw.
Teorema. Eger s+di 0+0i bolsa ǵana, tiyindisi anıqlanǵan hám sonıń menen birge ol barlıq a+bi hám c+di kompleks sanları ushın bir mánili.
Dálillew:
Mısalı.
Jorımal birliktiń dárejeleri.
Jorımal birliktiń dárejeleri tómendegi tártipte tabıladı.

Demek, n qálegen natural san bolǵanda:

Mısalı.1.
2.
Teńlemelerdi kompleks sanlar maydanında sheshiw.
Teris diskriminantlı kvadrat teńlemeler haqıyqıy sanlar maydanında sheshimge iye bolmaytuǵın edi, al kompleks sanlar maydanında bunday teńlemeler kompleks koren`lerge iye boladı.
Mısalı. teńlemesin sheshiń.
Sheshiw.
Bunnan,
Haqıyqıy koeffcientli 3- dárejeli hám 4- dárejeli teńlemelerdi sheshiw.
Bunday teńlemelerdi sheshiwdi dara mısallar menen sheship kórsetemiz:
1-mısal. teńlemesin sheshiń.
Sheshiw.
1)
2)

2-mısal. teńlemesin sheshiń.
Sheshiw. Bul teńleme haqıyqıy sanlar kópliginde sheshimge iye emes, al kompleks sanlar kópliginde 4 hár qıylı koren`lerge iye.
1)

2)

Shınıǵıw.
1.
2.
3.
4.
Kompleks sanlardıń trigonometriyalıq formada jazılıwı.
Qálegen a+bi kompleks sanın tómendegi túrde jazıwǵa boladı:

bunda al múyeshi tómendegi shártten anıqlanadı:

1-mısal. 1+i sanın trigonometriyalıq formada jazıń.
Sheshiw. Bul sannıń moduli r di hám argument di tabamız:

Demek, bunnan
Solay etip,

2-mısal. sanın trigonometriyalıq formada jazıń.