5-Maruza. Evklid fazosida ortogonal qatorla

5-Maruza. Evklid fazosida ortogonal  qatorlar. 

 

1. 

 

,

u v

 skalyar ko’paytma va unga mos 

 

,

u

u v



 normaga ega bo’lgan 

E

 

vektor fazo Evklid fazosi deyiladi.  

Ta’rif. Skalyar kо‘paytma kiritilgan har qanday chiziqli fazoga Gilbertoldi fazosi 

deyiladi.  

Ushbu paragrafda biz haqiqiy Evklid fazolarini, ya’ni haqiqiy sonlar maydoni 

ustidagi vektor fazolarini qaraymiz.                       Skalyar ko’paytmaning asosiy 

xossalaridan biri Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidir: 

 

,

u v

u

v





                                                  (20.1.1) 

 

Uchburchak tengsizligi deb ataluvchi quyidagi  

u v

u

v

 



                                                (20.1.2) 

tengsizlik (20.1.1) ning natijasi ekanini ko’rish qiyin emas. 

 Agar 

n

u

E

  ketma – ketlik va u E

  elemen uchun 

                                               lim

0

n

n

u

u



   

tenglik bajarilsa, bu ketma – ketlik  u  ga yaqinlashadi deyiladi. 

 Ushbu 

 

                                              

u

v

u v



 

 

tengsizlikdan  u  ga yaqinlashuvchi 

 

n

u  ketma – ketlikning  

lim

n

n

u

u





                                                      (20.1.3) 

munosabatni qanoatlantirishi kelib chiqadi. 

 

Ushbu paragrafda asosan cheksiz o’lchovli Evklid fazolari, ya’ni istalgan  n  

nomer uchun  n  ta chiziqli erkli elementga ega bo’lgan Evklid fazolari qaraladi. 

  Skalyar 

ko’paytmani 

 





,

( ) ( )

b

a

f g

f x g x dx





                                 (20.1.4) 

ko’rinishida aniqlab, bu vektor fazoni Evklid fazosiga aylantirish mumkin. Hosil 

bo’lgan Evklid fazosini 

 

,

a b



simvol bilan belgilaymiz. 

 

Shuni qayd qilish kerakki, bu simvoldan biz faqat ushbu bobda va faqat 

yozuvni soddalashtirish maqsadida foydalanamiz. Kiritilgan Evklid fazosini 

bunday belgilashdan matematik adabiyotlarda foy – dalanilmaslikning sababi 

ushbu paragraf oxiridagi eslatmada tushuntiriladi.   

 Istalgan 

 

,

f

a b



 element uchun (20.1.4) skalyar ko’paytmaga mos 

norma 

 

 

1

2

2

b

a

f

f x dx





 









                                            (20.1.5) 

kabi aniqlanadi. 

 

Bu holda (20.1.1) Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi quyidagi 

   

 

 

1

1

2

2

2

2

b

b

b

a

a

a

f x g x dx

f x dx

g x dx



 



 

 





 









                  (20.1.6) 

ko’rinishga ega. 

 

Skalyar ko’paytmaning muhim xossalaridan biri uning xosmasligidir, ya’ni 





,

0

f f

  shartdan  f  vektor fazoning nol elementi ekani kelib chiqishi kerak. 

Lekin, biz kiritgan fazoda, masalan, faqat biror nuqtada noldan farqli istalgan 

funksiya uchun (20.1.5) skalyar kvadratning nolga tengligi aniq. 

 

 

,

a b



 Evklid fazosidagi skalyar ko’paytma xosmaslik xossasiga ega 

bo’lishiga erishish uchun, 19.5 paragrafda kiritilgan nolga ekvivalent funksiya 

tushunchasidan foydalanamiz. Chunonchi, agar biror 

 

,

f

a b



 funksiya uchun 

 

2

0

b

a

f

x dx





                                              (20.1.7) 

shart bajarilsa , uni nolga ekvivalent deymiz. 

 

 

,

a b



 sinfida kiritilgan bu ta’rifning (19.5.11) ta’rif bilan ustma – ust 

tushishini tekshirish oson. 

 Agar 

f  nolga ekvivalent bo’lsa, (20.1.6) Koshi – Bunyakovskiy 

tengsizligiga ko’ra, istalgan 

 

,

g

a b



 funksiya uchun  





   

,

0

b

a

f g

f x g x dx







 

 

Bu tasdiqning teskarisi ham o’rinli, ya’ni, agar istalgan 

 

,

g

a b



 funksiya 

uchun 





,

0

f g

  bo’lsa,  f  nolga ekvivalent bo’ladi. 

Isbotlash uchun g

f

  deb olish yetarli. 

 Agar 

ikki 

 

1

,

f

a b



 va

 

2

,

f

a b



 funksiya uchun 

1

2

f

f

  ayirma nolga 

ekvivalent bo’lsa, bu funksiyalarni ekvivalent deymiz. 

Ravshanki, agar 

1

f  va 

2

f  funksiyalar ekvivalent bo’lsa, istalgan 

 

,

g

a b



 

funksiya uchun 



 



1

2

,

,

f g

f g



 

tenglik o’rinli. 

 

Bundan buyon, biz 

 

,

a b



fazosida ekvivalent funksiyalarni farqlaymiz. 

Aniqrog’i, 

 

,

a b



fazo elementi deganda, biz ekvivalent funksiyalar sinfini 

tushunamiz. Natijada 

 

,

a b



 vektor fazo Evklid fazosiga aylanadi. 

 

E’tibor bering, agar uzluksiz funksiya nolga ekvivalent bo’lsa, u aynan nolga 

teng bo’ladi. Umuman, agar 

 

,

a b



 dagi nolga ekvivalent funksiya biror 

 

,

a b

 

 intervalda uzluksiz bo’lsa, u shu intervalning barcha nuqtasida nolga 

tengdir. 

 

2. 

Skalyar ko’paytmaning mavjudligi tufayli, muhim bo’lgan ortogonallik 

tushunchasini kiritish mumkin. 

 

Ta’rif. 

Agar ikki  u

E

  va v E

  element uchun 

 

,

0

u v

  

tenglik o’rinli bo’lsa, ular ortogonal  deyiladi. 

 

Ikki va uch o’lchovli Evklid fazolarida ikki vektor ortogonalligi ularning 

perpendikulyarligini anglatadi. Shu sababli, umumiy holda ham, ortogonallik 

u

v

  simvol bilan belgilanadi. 

 

Ixtiyoriy Evklid fazosida Pifagor teoremasi o’rinli: 

 

har qanday ikki ortogonal   u

E

  va v E

  element uchun 

2

2

2

u v

u

v







                                    (20.1.8) 

tenglik bajariladi. 

 

Bu tenglik quyidagi  

 

2

2

2

2

,

u v

u

u v

v









 

ayniyatdan kelib chiqadi. 

 

(20.1.8) tenglikni takroriy qo’llash natijasida Pifagor teoremasining quyidagi 

ko’p o’lchovli holiga kelamiz: 

 agar 

1

2

,

,...,

n

u u

u  elementlar o’zaro ortogonal bo’lsa, ya’ni  





,

0,

,

k

j

u u

k

j



  

bo’lsa, u holda  

2

2

1

1

n

n

k

k

k

k

u

u











                                        (20.1.9) 

tenglik bajariladi. 

 

Cheksiz o’lchovli Evklid fazosida Pifagor teoremasining cheksiz o’lchovli 

holi ham o’rinli: 

 faraz 

qilaylik,

 

1

k k

u





 ketma – ketlik o’zaro ortogonal elementlardan tashkil 

topgan bo’lsin. Agar  

1

k

k

u

u









 

qator yaqinlashsa,  

2

2

1

1

k

k

k

k

u

u















                                (20.1.10) 

tenglik bajariladi. 

 

Haqiqatan, shartga ko’ra,  

1

,

.

n

k

k

u

u

n





 



 

U holda, (20.1.9) va (20.1.3) formulalarga asosan, 

2

2

2

1

1

,

.

n

n

k

k

k

k

u

u

u

n









 





 

 

3. 

Agar 

 

1

k k

g





 elementlari ketma – ketligidagi har bir element noldan farqli 

bo’lib, 





,

0,

,

j

k

g g

j k



  

tengliklar bajarilsa, bu elementlar sistemasini ortogonal sistema tashkil qiladi 

deyiladi. 

 

 

Ta’rif. 

Agar Evklid fazosining 

 

1

k k

e





 elementlari ketma – ketligi  





,

j

k

jk

e e





                                             (20.1.13) 

shartni qanoatlantirsa, bu elementlar sistemasi ortonormal (ortonormallangan) 

sistema 

deyiladi (bu yerda 

jk



 Kronekernning delta - simvolidir) . 

 

Ravsanki, istalgan ortogonal sistemani, har bir elementini sonli 

ko’paytuvchiga ko’paytirib, ortonormal sistemaga aylantirish mumkin. 

  Aytaylik, 

E

 evklid fazosida  

 

1

k k

e





 ortonormal sistema berilgan 

bo’lsin. Istalgan  f

h

  element uchun 





1

,

k

k

k

f e e







 

formal yig’indi  f  funksiyaning shu ortonormal Sistema bo’yicha Furye qatori, 





,

k

f e  sonlar esa, Furye koeffitsiyentlari deb ataladi. 

 

f  element Furye qatorining  n

  qismiy yig’indisini quyidagi 





1

,

n

k

k

n

k

S f

f e e







                                   (20.1.15) 

ko’rinishida aniqlaymiz. 

 

Bevosita (20.1.10) formulaga ko’ra, 





2

2

1

,

.

n

k

n

k

S f

f e







                               (20.1.16) 

 

E’tibor bering, qismiy yig’indining (20.1.15) ta’rifi va (20.1.13) ortogonallik 

shartiga asosan, 



 



,

,

,

1, 2,..., .

n

j

j

S f e

f e

j

n





               (20.1.17) 

 

4. 

Berilgan 

 

1

k k

e





 ortonormal sistema bo’yicha  n

  tartibli polinom deb 

birinchi  n  ta elementning ixtiyoriy  

1

,

,

n

n

k k

k

k

P

c e c









  

chiziqli kombinatsiyasiga aytamiz.