5 маъруза хосмас интеграллар. Чегаралари чексиз хосмас интеграллар. Чегараланмаган функцияларнинг хосмас интеграллари. Хосмас интегралларнинг яқинлашиш аломатлари

1-TEOREMA: Agar a≤x<∞ cheksiz yarim oraliqda 0≤f(x)≤g(x) va xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral ham yaqinlashuvchi va quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘ladi:



2-TEOREMA: Agar a≤x<∞ cheksiz yarim oraliqda 0 ≤ g(x) ≤ f(x) va xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.

Bu teoremaning isboti 1-teorema isboti singari amalga oshiriladi va o‘quvchiga mustaqil ish sifatida havola etiladi.

Masalan, xosmas integral uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham, x≥1 bo‘lganda, integral ostidagi funksiya

shartni qanoatlantiradi va

.

Bu yerdan, 2-tеorеmaga asosan, berilgan I integral uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.

Agar xosmas integral ostidagi f(x) funksiya turli ishorali qiymatlarni qabul etsa, unda quyidagi teoremadan foydalanish mumkin.

3-TEOREMA: Agar x≥a bo‘lganda |f(x)|≤g(x) va xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral ham yaqinlashuvchi va

(4)

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

Masalan, ixtiyoriy λ haqiqiy soni uchun

(5)

xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki

.

3-TA’RIF: Agar xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral absolut yaqinlashuvchi deyiladi. Agar I yaqinlashuvchi, J esa uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda I xosmas integral shartli yaqinlashuvchi deb ataladi.

Masalan, (5) xosmas integral α>1 holda absolut yaqinlashuvchi, 0<α≤1 holda esa shartli yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatish mumkin.

Yuqoridagi (4) tengsizlikdan absolut yaqinlashuvchi xosmas integral yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.

Agar y=f(x) funksiya (–∞, b] cheksiz yarim oraliqda aniqlangan bo‘lsa, uning bu soha bo‘yicha I tur xosmas integrali yuqoridagi (2) tenglikka o‘xshash tarzda quyidagicha aniqlanadi:

. (6)

Bu xosmas integral uchun ham uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligi 2-ta’rif asosida aniqlanadi.

Masalan, har qanday chekli b va λ>0 sonlari uchun xosmas integral yaqinlashuvchi, chunki

.

Agar y=f(x) funksiya cheksiz (–∞,∞) oraliqda aniqlangan bo‘lsa, uning bu oraliq bo‘yicha I tur xosmas integrali yuqorida kiritilgan xosmas integrallar orqali

(7)

tenglik bilan aniqlanadi. Bunda c – ixtiyoriy chekli son, jumladan 0 bo‘lishi mumkin.

4-TA’RIF: Agar (7) tenglikning o‘ng tomonidagi ikkala xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda tenglikning chap tomonidagi xosmas integral ham yaqinlashuvchi deyiladi. Agar o‘ng tomondagi xosmas integrallardan kamida bittasi uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda chap tomondagi xosmas integral uzoqlashuvchi deb ataladi.

Masalan,

,

ya’ni J xosmas integral yaqinlashuvchi ekan. Demak, y=1/(1+x²) , , va y=0 chiziqlar bilan chegaralangan cheksiz geometrik shakl (84-rasmga qarang) chekli va π soniga teng yuzaga ega bo‘ladi.