5 маъруза хосмас интеграллар. Чегаралари чексиз хосмас интеграллар. Чегараланмаган функцияларнинг хосмас интеграллари. Хосмас интегралларнинг яқинлашиш аломатлари

5.2. II tur xosmas integrallar. Endi chegaralanmagan funksiyalar uchun aniq integral tushunchasini umumlashtiramiz. Berilgan y=f(x) funksiya (a,b] yarim oraliqda chegaralanmagan, ammo ixtiyoriy uchun bu funksiya [a+ε,b] kesmada chegaralangan va integrallanuvchi bo‘lsin. Bu holda

funksiyani qarash mumkin.

5-TA’RIF: F(ε) funksiyaning ε→0+0 holdagi o‘ng limiti berilgan f(x) funksiyaning [a,b] kesma bo‘yicha II tur xosmas integrali deb ataladi.

Berilgan f(x) funksiyaning [a,b] kesma bo‘yicha II tur xosmas integrali quyidagicha belgilanadi va aniqlanadi:

(8)

limitga aytiladi.

6-TA’RIF: Agar (8) limit mavjud va chekli bo‘lsa, u holda II tur xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Aks holda bu xosmas integral uzoqlashuvchi dеb ataladi.

Misol sifatida ushbu II tur xosmas integralni ko‘ramiz:

. (9)

Bu yerda uch holni qaraymiz.

1. 
   Dastlab 0<α<1 holni tahlil etamiz:
   

.

Demak, bu holda (9) II tur xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati b^1–α .

2) Endi α=1 holni o‘rganamiz:

.

Demak, bu holda (9) II tur xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.

3) α>1 holni qaraymiz:

.

Demak, bu holda ham (9) II tur xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.

Shunday qilib, (9) xosmas integral 0<α<1 holda yaqinlashuvchi, α≥1 holda esa uzoqlashuvchi ekan. Bu natijaning geometrik ma’nosi shundan iboratki, y=1/x^α , x=0, x=b>0, y=0 chiziqlar bilan chegaralangan cheksiz geometrik shaklning S yuzasi 0<α<1 holda chekli va S= b^1–α (keyingi betdagi 85-rasmga qarang), α≥1 holda esa bu shakl yuzasi cheksiz bo‘lar ekan.

y=f(x) funksiya [a,b) yarim oraliqda chegaralanmagan, ammo ixtiyoriy uchun bu funksiya [a,b–ε] kesmada chegaralangan va integrallanuvchi bo‘lsin. Bu holda f(x) funksiyaning II tur xosmas integrali quyidagicha kiritiladi:

.

Bu yerda ham tenglikning o‘ng tomonidagi limit mavjud va chekli bo‘lsa xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda – uzoqlashuvchi deyiladi.

Masalan,

.

Demak, bu II tur xosmas integral yaqinlashuvchi.

.

Demak, bu II tur xosmas integral uzoqlashuvchi.

Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmaning biror ichki x=c nuqtasida chegaralanmagan bo‘lsa, bu holda II tur xosmas integral

(10)

tenglik orqali kiritiladi. Bu xosmas integralning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘lishi 4-ta’rif singari aniqlanadi.

II tur xosmas integrallarning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini yetarli shartlari oldin I tur xosmas integrallar uchun ifodalangan 1-3 teoremalarga o‘xshash ifodalanadi.

5.3.Aralash turdagi xosmas integrallar. Agar y=f(x) funksiya x=a nuqtada chegaralanmagan bo‘lsa, unda [a,+∞) yoki (–∞, a] cheksiz yarim oraliqlar bo‘yicha aralash turdagi xosmas integrallar

kabi aniqlanadi. Bunda tengliklarning o‘ng tomonidagi I va II turdagi xosmas integrallarning ikkalasi ham yaqinlashuvchi bo‘lsa aralash turdagi xosmas integral ham yaqinlashuvchi, aks holda esa uzoqlashuvchi deb hisoblanadi.

Masalan,

funksiya uchun xosmas integralni qaraymiz:

,

, .

Demak, aralash turdagi I integral yaqinlashuvchi va uning qiymati I=I₁+ I₂=3 .

Xuddi shunday tarzda aralash turdagi

xosmas integrallar uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatish mumkin va bu o‘quvchiga mustaqil ish sifatida havola etiladi.

XULOSA

Aniq integral ta’rifida integrallash sohasi chekli kesma va integral ostidagi funksiya chegaralangan deb qaralgan edi. Ammo bir qator masalalarni yechishda bu shartlardan kamida bittasi bajarilmaydigan vaziyatlar paydo bo‘ladi. Misol sifatida cheksiz geometrik shakllarning yuzasini hisoblash masalasini ko‘rsatish mumkin. Bunday hollarda xosmas integrallar tushunchasidan foydalaniladi. Ular ma’lum bir aniq integral qiymatlarining u yoki bu holdagi limiti kabi aniqlanadi. Bu limit mavjud va chekli bo‘lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda esa uzoqlashuvchi deyiladi.

Integrallash sohasining kamida bitta chegarasi cheksiz bo‘lgan holda I tur xosmas integral tushunchasiga kelamiz. Agar integral ostidagi funksiya chegaralanmagan bo‘lsa, unda II tur xosmas integralga ega bo‘lamiz. Chegaralaridan kamida bittasi cheksiz va integral ostidagi funksiya chegaralanmagan bo‘lgan xosmas integrallar aralash turli deb ataladi.

Tayanch iboralar

* I tur xosmas integral * Xosmas integralning geometrik ma’nosi * Yaqinlashuvchi xosmas integral * Uzoqlashuvchi xosmas integral *Absolut yaqinlashuvchi xosmas integral * Shartli yaqinlashuvchi xosmas integral * II tur xosmas integral * Aralash turdagi xosmas integral .

Takrorlash uchun savollar

1. 
   Xosmas integral tushunchasi qayerdan paydo bo‘ladi?
   
2. 
   I tur xosmas integral qanday ta’riflanadi?
   
3. 
   I tur xosmas integralning geometrik mazmuni nimadan iborat?
   
4. 
   Qachon xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi?
   
5. 
   Qachon xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi?
   
6. 
   Xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lishining yetarli sharti nimadan iborat?
   
7. 
   Xosmas integral qaysi shartda uzoqlashuvchi bo‘ladi?
   
8. 
   Qachon xosmas integral absolut yaqinlashuvchi deyiladi?
   
9. 
   Absolut yaqinlashuvchi xosmas integral qanday xossaga ega?
   
10. 
    Qachon xosmas integral shartli yaqinlashuvchi deyiladi?
    
11. 
    II tur xosmas integral qanday ta’riflanadi?
    
12. 
    Aralash turdagi xosmas integral qanday aniqlanadi?