5-mavzu 5-Ma’ruza

2.1.5. Koordinatalarni almashtirish
Nuqtaning bir sistemadagi koordinatalarini uning boshqa sistemadagi koordinatalari bilan almashtirishga koordinatalarni almashtirish deyiladi.
Bir to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasini koordinata o‘qlarini parallel ko‘chirish yoki koordinata o‘qlarini burish orqali boshqa to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi bilan almashtirish masalalarini ko‘ramiz. Bunda tekislik istalgan nuqtasining turli sistemalardagi koordinatalari orasidagi bo‘g‘lanish
formulalarini hosil qilamiz.
2.1.5.1.Koordinata o‘qlarini parallel ko‘chirish
Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan bo‘lsin.
K oordinata o‘qlarini parallel ko‘chirish – bu sistemadan uning o‘qlari yo‘nalishlarini va masshtablarini o‘zgartirmasdan faqat koordinatalar boshining joylashishini o‘zgartirish orqali yangi sistemaga o‘tishdir.
Yangi sistemaning koordinatalar boshi eski sistemada koordinatalarga ega bo‘lsin, ya’ni . Tekislik ixtiyoriy nuqtasining sistemadagi koordinatalarini bilan va sistemadagi koordinatalarini bilan belgilaymiz (10-shakl).
U holda

10-shakldan topamiz: .
Bundan

yoki
(2.1.14)
(2.1.14) formulalar nuqtaning sistemadagi koordinatalarini sistemadagi koordinatalar orqali topish imkonini beradi, va
aksincha.


2.1.5.2. Koordinata o‘qlarini burish
Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan bo‘lsin.
Koordinata o‘qlarini burish – bu sistemadan uning koordinatalar boshini va o‘qlari masshtablarini o‘zgartirmasdan faqat koordinata o‘qlarini biror burchakka burish orqali yangi sistemaga o‘tishdir.
Umumiy qutbga va bir xil masshtabli qutb o‘qlariga ega bo‘lgan qutb koordinatalari sistemalarini kiritamiz. nuqta sistemada koordinatalarga va sistemada koordinatalarga ega bo‘lsin (11-shakl).
Qutb koordinatalaridan to‘g‘ri burchakli koordinatalarga o‘tish formulalaridan topamiz:

Bundan


bu yerda (11-shakl).
Shu sababli
(2.1.15)
(2.1.15) formulalar koordinata o‘qlarini burish formulalari deyiladi. Bu formulalar nuqtaning sistemadagi koordinatalarini sistemadagi koordinatalar orqali topish imkonini beradi, va aksincha.
Agar yangi sistema eski sistemadan koordinata o‘qlarini avval parallel
ko‘chirish va so‘ngra burish orqali hosil qilingan bo‘lsa, (2.1.14) va (2.1.15)
formulalarni umumlashtirib, koordinata o‘qlarini parallel ko‘chirish va burish
formulalarini hosil qilamiz:
(2.1.16)
Bundan
(2.1.17)
Misol
To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasining o‘qlari nuqtaga parallel ko‘chirilgan va burchakka burilgan. Yangi sistemaga nisbatan nuqtalarning koordinatalarini topamiz. Misolning shartiga ko‘ra
da
U holda (2.1.17) formulalardan topamiz:
ya’ni .