5-mavzu 5-Ma’ruza

2.1.3.3. Massalar sistemasining o‘g‘irlik markazi
4-teorema. Agar va mos ravishda va nuqtalarga joylangan massalar sistemasi bo‘lsa, u holda bu sistema og‘irlik markazining koordinatalari
(2.1.6)
formulalar bilan topiladi.
Isboti. Mexanikaning ma’lum prinsipiga ko‘ra berilgan massalar sistemasining og‘irlik markazi kesmani va massalarga teskari proporsional bo‘laklarga bo‘ladi, ya’ni bunda . Bu sistema og‘irlik markazining koordinatalarini (8.4) formulalar bilan topamiz:

yoki
.
Bu teoremani matemtik induksiya metodi bilan ta massalar sistemasi uchun isbotlash mumkin:


(2.1.7)
Misol
Bir jinsli sterjenlardan tashkil topgan fermaning og‘irlik markazini topami , bu yerda (6-shakl).
Sterjenlar bir jinsli bo‘lgani uchun har bir sterjenning massasi uning uzunligiga proporsional bo‘ladi, ya’ni
uchun:
uchun:
uchun:
uchun:
U

holda (2.1.7) formula bilan topamiz:


2.1.3.4. Uchburchakning yuzi
5 -teorema. Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan istalgan uchta nuqtalar uchun uchburchakning yuzi
(2.1.8)
formula bilan ifodalanadi.
Isboti. uchlardan o‘qiga perpendikularlar tushiramiz.
7-shakldan topamiz:
, (2.1.9)
bu yerda mos trapetsiya-rning yuzlari.
Bunda


Bu yuzlarning qiymatlarini (2.1.9) tenglikka qo‘yib, topamiz:


Shu kabi uchlari …, nuqtalardan iborat ko‘pburchakning yuzi
(2.1.10)
formula bilan ifodalanadi.
Agar uchburchakning yuzi nolga teng bo‘lsa (2.1.8) tenglikdan uchta nuqtaning bir to‘g‘ri chiziqda yotish shartini
ifodalovchi
(2.1.11)
tenglik kelib chiqadi.
Misol
Uchlari , , nuqtalarda bo‘lgan to‘rtburchakning yuzini topamiz: