5-mavzu. Hosila tushunchasi va misollar. Hosilani hisoblash. Yuqori tartibli hosila. Oshkormas va parametrik funksiyalar hosilasini hisoblash. Teskari funksiya hosilasi

tezligi sifatida talqin qilish mumkin. Funksiya orttirmasini uning differensiali bilan 

almashtirilishi  esa,  erksiz  o’zgaruvchining  o’zgarishini  argumentning  kichik 

o’zgarishiga nisbatan chiziqli jarayon sifatida hisoblash imkonini beradi. 

Masalan, moddiy nuqtaning to’g’ri chiziq bo’ylab harakat qonuni  

 

t

S

S



funksiya  bilan  berilgan  bo’lsin.  U  holda,  ixtiyoriy 

t

  vaqt  onidagi 

v

  oniy  tezlik 

kattaligi harakat qonunidan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosila qiymatiga 

teng: 

 

 

v t

S t





. 

 

dS

v t

dt





  differensial  esa,  moddiy  nuqta 

t

  va 

dt

t



  vaqt  onlari 

oralig’ida 

t

  momentdagi  oniy 

v

  tezligi  bilan  tekis  harakat  qilganda  bosib  o’tishi 

mumkin bo’lgan masofani aniqlaydi. 

Amaliy  iqtisodiyotda  tayyorlangan  mahsulot  hajmi  bilan  xom  -  ashyo  sarfi 

orasida bog’liqlikni o’rnatuvchi ishlab chiqarish  funksiyalari,  tarmoqlar  rivojini 

ta’minlashda,  optimallash  masalarida  keng  qo’llaniladi.  Masalan,  ikki 

o’zgaruvchili  (faktorli)  Kobb  –  Duglas  ishlab  chiqarish  funksiyasi  tayyorlangan 

mahsulot hajmi  y  bilan ishlab chiqarish fondlari kattaligi 

K  va jonli mehnat sarfi 

hajmi 

L  orasidagi munosabatni quyidagicha aniqlaydi: 

.

1 a

a

L

K

q

y







 

Bu yerda,  q  va 

a

 tanlanadigan o’zgarmas sonlar. 

Ishlab  chiqarish  funksiyalari  differensiallanuvchi  deb  taxmin  qilinsa,  hosila 

tushunchasi  bilan  bog’liq  ularning  differensial  xarakteristikalari  muhim  ahamiyat 

kasb  etadi.  Masalan,  agar 

 

x

f

y



  ishlab  chiqarish  funksiyasi  tayyorlangan 

mahsulot hajmi  y  bilan xom - ashyo sarfi hajmi 

x

 orasidagi bog’liqlikni ifodalasa, 

 

x

f



  limit  (chegaraviy)  mahsulot  deyiladi.  Agarda, 

 

x

f

y



  ishlab  chiqarish 

xarajatlari 

y   bilan  mahsulot  hajmi  o’rtasida  munosabatni  aks  ettirsa, 

 

x

f



  limit 

(chegaraviy) xarajatlar deb yuritiladi yoki xarajatlar cho’qqisini bildiradi. 

 

x

f

y



  funksiya  elastikligi 

x

  argumentning  kichik  nisbiy  o’zgarish 

jadalligiga nisbatan  y  funksiyaning nisbiy o’zgarish unumini aniqlaydi. 

Elastiklik koeffisienti 



 quyidagicha hisoblanadi: 

:

dy dx

x

y

y

x

y









 

 

Elastiklik  koeffisienti  tovarlarga  bo’lgan  ehtiyoj  talabi  masalalarini,  tovarlarning 

bahosi  va  iste’molchilarning  daromadiga  bog’liq  holda,  tekshirishda  keng 

qo’llaniladi.  Elastiklik  koeffisientining  yuqoriligi  ehtiyoj  qondirilish  darajasining 

bo’shligini anglatsa, uning past darajaligi ushbu ehtiyojning qondirilmay ko’p turib 

qolganini anglatadi. 

Hosila  ta’rifidan  foydalanib  hisoblanib  jadvalga  solingan  elementar 

funksiyalarning hosilalari jadvalini keltiramiz. 

 

f x  

 

f

x



 

 

f x  

 

f

x



 

1

1

0

1

1

ln

1

log

ln

1

ln

n

n

n

n

n

x

x

x

x

a

C

const

x

x

nx

x

n x

a

a

a

e

e

x

x

a

x

x







 





2

2

2

2

2

sin

cos

cos

sin

1

cos

1

sin

1

arcsin

1

1

arccos

1

1

1

x

x

x

x

tgx

x

ctgx

x

x

x

x

x

arctgx

x













 

 

 

Hosilaning ta’rifi asosida funktsiya differesialini toppish ancha  noqulaydir. 

Shu  sababli  differesiallashni  yengillashtirish  maqsadida  maxsus  qoidalar  keltirib 

chiqarilgan. Biz bu qoidalar bilan tanishib chiqamiz. 

Agar 

 

x

u

  va 

 

x

v

  funksiyalar 

x

  nuqtada  differensiallanuvchi  bo’lib, 

k

const



 bo’lsa, u holda 

x

 nuqtada  

   

 

( )

)

;

)

;

)

( ) ( );

)

( )

u x

a

u x

v x

b

ku x

c u x v x

d

v x



 

funksiyalar ham differensiallanuvchi bo’ladi va quyidagi differensiallash qoidalari 

o’rinli bo’ladi: 

1) 

   





 

 

   





 

 

.

;

x

dv

x

u

d

x

v

x

u

d

x

v

x

u

x

v

x

u



















 

2) 

 

 





;

( )

( ).

ku x

ku x

d ku x

kdu x

















 

3) 

   

       

   

       

;

.

u x v x

u x v x

u x v x

d u x v x

u x dv x

v x du x































 

4) 

   

       

 

 





   

     

 

 





2

2

,

0 ;

( )

,

0 .

u x

v x

u x v x

u x v x

v

x

v x

d u x

v x

v x du x

u x dv x

v

x

v x





































 





 



 

Yuqoridagi  1)  va  3)  differensiallash  qoidalari    funksiyalar  soni  istalgann 

chekli son bo’lganda ham o’rinli.  

Masalan, 

1

2

( )

( ),...,

( )

n

y

u x u x

u x



, (

n

 

) bo’lsin.  





1

2

( ) ( ),...,

( )

n

d u x u x

u x

dx

 ni hisoblaymiz: 



 











1

2

1

2

3

2

1

3

1

2

1

( ) ( ),...,

( )

( )

( ) ( ),...,

( )

( )

( )

( ) ( ),...,

( )

...

( ) ( ),...,

( )

.

n

n

n

n

n

d u x u x

u x

du x

u x u x

u x

dx

dx

du x

du x

u x u x

u x

u x u x

u

x

dx

dx









 

 

3-misol.    Differensiallash  qoidalari  va  hosilalar  jadvalidan  foydalanib, 

quyidagi funksiyalar hosilalarini hisoblang 

1) 

2

2

3

5

.

x x

y

x

e

x arctgx







  

 

 

   

 





 

 





2

1

3

3

2

2

2

2

2

3

5

2 3

5

ln 5

2 3

5

ln 5

2

1

.

x

x

x x

y

x

e

x arctgx

x

e

e

x

arctgx

x

arctgx

x

e

e

x arctgx

x

x









 

































 

2) 





2

2

3

ln .

x

y

x

x





 









 

 









 

2

2

2

2

2

2

3

ln

2

3

ln

2 ln 2

6

ln

2

3

1

ln

ln

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

x

















 



. 

 

u

f

y



 

va 

 

x

g

u



 

funksiyalarning 

superpozisiyasidan 

iborat 

 

 







E g

D f



 

 

 





x

g

f

y



 murakkab funksiya berilgan bo’lsin. 

 

 

3-teorema (M). Agar 

 

x

g

u



 funksiya 

0

x

 nuqtada differensiallanuvchi, o’z 

navbatida 

 

u

f

y



 funksiya ham 

 

0

0

u

g x



 nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u 

holda 

 





x

g

f

y



 murakkab funksiya ham 

0

x

 nuqtada differensiallanuvchi bo’ladi 

va 



 



dy dx

dy du

du dx



 ya’ni  

 

   

0

0

0

y x

f u

g x









 

bo’ladi.  

Murakkab  funksiyaning  erkli  o’zgaruvchi  bo’yicha  hosilasi,  shu  funksiyani 

tashkil  etgan  (  superpozisiyalanuvchi  )  funksiyalar  hosilalarining  ko’paytmasiga 

teng. 

Murakkab funksiya differensiali uchun  

 

 

0

0

dy

y x dx

f u du









 

tenglik  o’rinli,  bu  yerda 

 

0

du

g x dx





.  Murakkab  funksiya  birinchi  tartibli 

differensialini  hisoblash  uchun  uning  biror  o’zgaruvchi  bo’yicha  hosilasini    shu 

o’zgaruvchining differensialiga ko’paytirish yetarli. Bunda differensialni hisoblash 

shakli  o’zgarishsiz qolib,  o’zgaruvchilarning  tanlanishiga  yoki ularning erkli  yoki 

erksizligiga  bog’liq  emas.  Ushbu  xossa  birinchi  tartibli  differensial  shaklining 

invariantlik xossasi deyiladi. 

4-misol. 

)

2

(

ln

x

tg

y



 

funksiyaning 

birinchi 

tartibli 

hosilasi 

va 

differensialini hisoblaymiz: 

 





 





 

 

 

 

 

x

x

x

x

x

tg

x

tg

x

tg

x

tg

y

sin

1

2

cos

2

sin

2

1

2

cos

2

1

2

1

2

2

2

ln

2

























 

x

dx

dx

y

dy

sin







 

5-misol. 

sin

(

0)

x

y

x

x





 funksiya hosilasini hisoblash uchun, dastlab tenglikning 

ikkala tomonini logarifmlaymiz va so’ngra hosila olamiz: 



 



ln

sin ln

cos ln

sin

.

y

x

x

y y

x

x

x x















 

Natijada 





sin

cos ln

sin

.

x

y

x

x

x

x x

 



  

 

4-teorema  (T).  Agar 

 

x

f

y



  funksiya 

 

















0

0

0

, x

x

x

U

 

0





  oraliqda 

uzluksiz, qat’iy monoton o’suvchi (kamayuvchi) va 

 

0

'

0



x

f

 hosila mavjud bo’lsa, 

u holda 

 

x

f

 funksiyaga teskari 

 

y

x





 funksiya 

 

0

0

x

f

y



 

nuqtada aniqlangan va 

hosilaga ega bo’lib,  

 

 

0

0

'

1

'

x

f

y





 



















'

'

1

y

x

x

y

      

(5) 

tenglik o’rinli bo’ladi.  

6-misol. 

x

y

arcsin



 

1



x

 

,

sin y

x



cos

y

x

y

 

 . (1) formulaga asosan 

2

2

'

1

1

sin

1

1

cos

1

x

y

y

y

x











 

Demak 

2

'

1

1

x

y

x





 

 

7-misol. 

0

1

,

0

log









x

a

a

x

y

a

  

,

y

a

x



a

a

x

y

y

ln

'



 

'

'

1

y

x

x

y



 formulaga asosan 

.

ln

1

ln

1

'

a

x

a

a

y

y

x





 

 

 





 

0

0

0

;

t

U

t

t













  oraliqda 

 

t

y

  va 

 

t

x

  funksiyalar  aniqlangan  bo’lib, 

 

t

x

 

funksiya  uzluksiz  va  qat’iy  monoton  bo’lsin  (masalan  qat’iy  o’suvchi),  u  holda 

 





;

  (masalan 

























0

0

0

0

;

t

x

t

x

)  oraliqda   

 

t

x

x



  funksiyaga  teskari 

uzluksiz qatiy monoton (monoton o’suvchi)  

 

x

t

t



 funksiya 

aniqlangan. 

 

5-teorema  (P). 

 

t

y

va 

 

t

x

  funksiyalar 

0

t

  nuqtada 

 

,

'

0

t

y

 

 

0

' t

x

 

0

'

0



t

x

 

hosilalarga  ega  bo’lsin,  u  holda  murakkab 

 

 

 

y

y t

y t x





  funksiya 

 

0

0

t

x

x



 

nuqtaga hosilaga ega va u quyidagi formula bilan hisoblanadi: 

'

'

'

t

t

x

x

y

y

dx

dy





                                                            (6) 

8-misol. 











t

R

x

t

R

y

cos

sin

 

,

2

;

0













t

  bo’lsin. Unda  

( )

arccos

x

t x

R



 , 

1

0





R

x

 

.

arccos

sin

2

2

x

R

R

x

R

y



















  

.

sin

cos

'

'

'

ctgt

t

R

t

R

x

y

y

t

t











 Bunda  

2

2

.

x

ctgt

R

x

 



 

9-misol. 





















t

t

y

t

t

x

2

2

3

1

2

3

  parametrik  shaklda  berilgan  funksiya 

 

'

1

'

3

y

y

x





 











 

dx

dy

y'

 

tenglamani qanoatlantirishini ko’rsating.  

(6) 

formulaga 

asosan 

'

'

'

t

t

x

x

y

y



 

;

2

3

2

3

2

2

3

3

2

3

'

2

'

t

t

t

t

t

t

y

t





























   

 





.

3

2

3

3

1

1

3

1

4

6

2

6

2

3

'

3

'

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

x

t





























 



 

t

t

t

t

t

y

x













4

3

'

3

2

2

3

 

 

 

t

t

t

t

y

x











1

1

'

3

3

3

 

.

1

'

1

t

y







 Demak tenglik o’rinli.  

 

Agar 

differensiallanuvchi 

 

x

f

 

funksiya 

oshkormas 

 

0

,



y

x

F

 

ko’rinishda berilgan bo’lsin  

 





0

,



x

f

x

F

ayniyatdan murakkab funksiya sifatida 

x

 

bo’yicha hosila olamiz. 

0

'

'

'







y

F

F

y

x

 bu tenglikda 

'

'

'

y

x

F

F

dx

dy

y







 (7) tenglikka ega 

bo’lamiz.  

 

10-misol. 

1

2

2

2

2





b

y

a

x

 (8) ellipsning 





0

0

0

, y

x

M

nuqtasidan  o’tkazilgan urinma  

tenglamasini  tuzing.  

(8)  tenglama  ikkita  oshkor   

 

x

f

 

funksiya  orqali  aniqlash  mumkin.  





0

0

0

, y

x

M

nuqta 





a

a;



  oraliqda  bir  qiymatli  ifodalanadi.  (8)  tenglamani 

differensiallab 

0

'

2

2

2

2





y

b

y

a

x

 tenglikka ega bo’lamiz. Oxirgi tenglikda noma’lum 

x

va 

y

  lar  o’rniga  mos  ravishda

0

x

va 

0

y

  sonlar qo’yib  ellipsga 





0

0

0

, y

x

M

nuqtasidan 

o’tkazilgan urinmaning burchak koeffisientini topamiz.  

 

.

'

0

0

2

2

0

y

x

a

b

x

y

k







 

 

Demak  urinmaning  tenglamasi 





0

0

x

x

k

y

y







  yoki 





0

0

0

2

2

0

x

x

y

x

a

b

y

y









 

tenglamani  quyidagicha  yozish  mumkin 

2

2

0

2

2

0

2

0

2

0

a

x

b

y

a

xx

b

yy







.  Bundan   

1

2

0

2

0





b

yy

a

xx

 

chunki 

.

1

2

2

0

2

2

0





b

y

a

x