5-mavzu. Hosila tushunchasi va misollar. Hosilani hisoblash. Yuqori tartibli hosila. Oshkormas va parametrik funksiyalar hosilasini hisoblash. Teskari funksiya hosilasi

Oshkormas funksiya va uni differentsiallash 

 

x va y  o’zgaruvchilar yordamida funksiona bog’lanish  biror 

( , )

0

F x y



  (*) 

formula  bilan  berilgan  bo’lsin.  Agar  biror    ( , )

a b

 

oraliqda  aniqlangan  biror 

( )

y

f x



 funksiya (*) tenglamani qanoatlantirsa, ya’ni uni ayniyatga aylantirsa, u 

holda 

( )

y

f x



 funksiya (*) tenglik bilan aniqlangan  oshkormas funksiya deyiladi. 

Oshkormas  funksiya  hosilasini  uni  oshkor  holga  keltirmasdan  turib  toppish 

mumkin.  Misol. 

2

2

1

x

y





  tenglama  bilan  berilgan  funksiyaning 

'

y

 

hosilasini 

toping. Differentsiallaymiz: 

'

2

2

0

x

yy





, 

bundan  

'

x

y

y

 

 

 

 Parametric ko'rinishda berilgan funksiyalar  va ularni differentsiallash 

 

    x va y   o’zgaruvchilar  orasidagi    funksional  bog’lanishni  har  doim  ham  oshkor 

yoki  oshkormas  ko’rinishda  yozish  qulay  bo’lmaydi.    Ba’zan  yordamchi 

o’zgaruvchi t ni kiritib, parametric ravishda ifodalash qulay bo’ladi: 

( )

( )

x

t

y

t









 



 

Bu funksiya hosilasini toppish uchun formula chiqaramiz. Bunda 

( )

x

t





 

funksiya 

teskari funksiyaga ega. Bu yerda  y ni 

x

ning murakkab funksiyasi deb hisoblash 

mumkin. Shu sababli murakkab funksiyani differensiallash qoidasiga ko’ra: 

'

'

'

x

t

x

y

y t

 

  (*) 

Teskari funksiyani differentsiallash qoidasiga ko’ra   

'

'

1

x

t

t

x



     

Buni (*) ga qo’ysak 

'

'

'

t

x

t

y

y

x



 

Misol.

 

cos

sin

x

R

t

y

R

t





 



 

 

 

 

 

 

'

'

'

cos

sin

t

x

t

y

R

t

y

ctgt

x

R

t





 



 

 

O‘z – o‘zini tekshirish uchun savollar 

 

1.  Bir o‘zgaruvchili funksiyaning birinchi tartibli hosilasini ta‘riflang? 

2.  Funksiya nuqtada cheksiz hosilaga ega bo‘lishi mumkinmi? 

3.  Funksiyaning nuqtada bir tomonlama hosilalari deb nimaga aytiladi? 

4.  Funksiyaning nuqtada hosilaga ega bo‘lish shartlari nimalardan iborat? 

5.  Funksiyani differentsiallash deganda nimani tushunasiz. 

6.  Nuqtada differensiallanuvchi funksiya deb qanday funksiyaga aytiladi? 

7.  Funksiyaning nuqtada differensiallanuvchi bo‘lish zaruriy va yetarli        

     shartlari  nimalardan iborat? 

8.  Funksiyaning birinchi tartibli differensiali deganda nimani tushunasiz? 

9.  Taqribiy hisoblash formulasini yozing. 

10. Qanday funktsiyaga to‘plamda differensiallanuvchi va uzluksiz  

     differentsiallanuvchi funksiya deyiladi? 

11. Birinchi tartibli hosilaning geometrik ma‘nosi nimadan iborat? 

12. Birinchi tartibli hosila va differensialning fizik ma‘nosini bayon qiling? 

13. Ishlab chiqarish funksiyasi deganda nimani tushunasiz? 

14. Ishlab chiqarish funksiyalarining differensial xarakteristikalariga misollar 

     keltiring? 

15. Elastiklik koeffitsienti formulasini yozing? 

16. Funksiyalar yig‘indisi, songa ko‘paytmasi, o‘zaro ko‘paytmasi va    

     nisbatlarining hosila va differensiallarini hisoblash qoidalari nimalardan   

     iborat? 

17. Elementar funksiyalarning birinchi tartibli hosilalarini yozing. 

18. Murakkab funksiyaning hosilasi qanday topiladi? 

19. Murakkab funksiya birinchi tartibli differensialining invariantlik xossasi 

     deganda nimani tushunasiz. 

20. Logarifmlab differensiallash jarayoni nimalardan iborat? 

21. Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar qanday aniqlanadi? 

22. Qanday hollarda murakkab funksiya yuqori tartibli differensiali uchun          

      invariantlik xossasi o‘rinli va qanday hollarda o‘rinli emas? 

23. Teskari funksiya hosilasini topish formulasini yozing. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mustaqil ishlash uchun misollar 

1. 

2

x

y



  funksiyaning 

2





x

  nuqtada  argument 

x



  ning:  a)  1;  b)  0,2; 

c)0,1; d) 0,01 qiymatlariga mos orttirmalarini toping. 

2. 

y

x





  nisbatni tuzing, agar: 

a) 

3

2

3,

0,

0,1;

y

x

x

x

x









 

 b) 

1

,

0,5,

0,02;

y

x

x

x





 

 

c) 

.

01

,

0

,

4

,









x

x

x

y

 

bo’lsa, nisbatlarning 

0





x

 dagi limitlari, birinchi holda -2 ga, ikkinchi holda 

–4 ga, uchinchi holda esa 

1

4

 ga tengligini ko’rsating.  

3.  Hosila  ta’rifidan  foydalanib,  quyidagi  funksiyalarning  berilgan 

nuqtalardagi hosilalarini toping: 

1)

;

1

,

4





x

x

y

2)

;

16

,

4





x

x

y

 

;

8

,

0

,

/

1

)

3

2





x

x

y

  

5

4)

1/

,

4; 5)

5 ,

0; 6)

log

,

1;

7)

sin ,

0; 8)

,

0.

x

y

x x

y

x

y

x x

y

x x

y

tgx x





















 

4.  Funksiyalarning differensialni toping: 

 

 

2

1)

2

; 2)

1/ 3

; 3)

1/ 2

.

y

x

y

x

y

x







 

5.  Quyidagi 

funksiyalarning 

berilgan 

nuqtalarda 

uzluksizligi 

va 

differensiallanuvchanligini tekshiring: 

3

)

,

0;

)

sin ,

0

/ 2.

a y

x

x

b y

x x

va x













 

6. 

3

y

x



 

kubik 

parabolaning 

qanday 

nuqtalariga 

o’tkazilgan 

urinmalarning burchak koefisienti 12 ga teng bo’ladi? 

7. 

5

4

2







x

x

y

  parabola  va 

1





x

y

  to’g’ri  chiziqlar  kesishish 

nuqtalariga  normallar  o’tkazilgan.  Normallar  va  kesishish  nuqtalarini 

tutashtiruvchi vatar hosil qilgan uchburchak yuzasini toping? 

8.  Differensiallash qoidalari va hosilalar jadvalidan foydalanib: 

1) 

 larni hisoblang? 

   

4

1

,

1

;

2

3

y

y

x

x

y









2) 

 larni hisoblang? 

3) 

 larni hisoblang? 

4) 

ni hisoblang? 

5) 

 larni hisoblang? 

6) 

 ni toping? 

7) 

ni toping? 

9.  Quyidagi funksiyalarni differensiallang: 

1) 

 2) 

 

3) 

; 4) 

 

5) 

 6) 

 

7) 

 8) 

 

9) 

 10) 

 

10. Yuqori tartibli hosilalarini toping: 

a) 

 b) 

 

c) 

 d) 

 

y) 

 k) 

 

11. Quyidagi funksiyalarning hosilasini toping 

1. 

2

1

2

1

2

1

a

y

x





  

2. 

 

x

xy



cos

  

3. 

2

2

4

4

y

x

y

x





  

4. 

arctgy

x

y





  

5. 





0

cos

sin







y

x

x

y

  

6. 



 



1

3

1

2

2









y

x

 aylanaga 

 

1

;

2

 nurinmani burchak koeffisientini toping. 

7. 

?

sin

cos

'

3

3















x

y

t

b

y

t

a

x

 

8. 

?

1

1

'























x

y

t

t

y

t

t

x

 





   

2

,

1

;

1

5

3

2

y

y

x

x

x

y

















   

2

,

0

;

5

5

3

2

y

y

x

x

y











 

0

;

1

3

y

x

x

y



























 

)

1

(

,

0

;

1

1

2

2

y

y

x

x

x

x

y















)

1

(

;

)

2

(

2

3

2

y

x

x

y











 

  

2

;

1

1

y

x

x

y













;

6

4

3

5

2







x

x

y

;

)

2

1

(

6

2

1

x

y





2

3

3

4

1

2

1

5

(

3)

y

x

x



 



;

2

1

ctgx

y





;

sin

sin

3

3

2

x

x

y





;

1

sin

2

x

y







 



;

1

1

cos

2

x

x

y











;

3

1

2

arccos





x

y



 



;

1

1

arcsin

x

x

y







);

1

(

2

x

x

arctg

y







?

;

4

3

3











y

x

x

y

?

;

)

4

(

5











y

x

y

 

?

;

4

4

4

3

6









y

x

x

y

?

)

0

(

;

1

2









y

e

y

x

?

)

1

(

;







y

arctgx

y





 

?

;

1

1

5







y

x

y

9. 

 

?

1

ln

'

2

















x

y

arctgt

t

y

t

x

 

10. 





?

cos

sin

1

'















x

y

y

x









 

11. 

?

2

3

2

'

3

2

2



















x

y

t

t

y

t

t

x

 parametrik funksiya 

3

2

'

2

'

y

y

y





 tenglikni 

bajarishini isbotlang.  

 

 

Foydalanishga tavsiya etiladigan adabiyotlar ro`yxati 

 

1.  Бабаджанов Ш.Ш. Высшая математика. Часть  I. Учебное пособие.   T.: 

«IQTISOD - MOLIYa», 2008. – 336 с. 

2.  Бабаджанов Ш.Ш. Высшая математика. Часть II. Учебное пособие.  T.: 

«IQTISOD - MOLIYa», 2008. – 288 с. 

3.  Высшая  математика  для  экономистов.  Учебник.  2-e  изд.  /  Под. 

Редакция Н.Ш. Крамера М.: ЮНИТИ 2003. – 471с. 

4.  Karimov  M.,  Abdukarimov  R.  Oliy  matematika.  O`quv  qo`lanma.  T.: 

«IQTISOD - MOLIYa», 2009. – 204b. 

5.  Raximov  D.G.,  Roishev  A.R.  Oily  matematika.  1  qism.  O`quv  qo`llanma. 

T.: «IQTISOD - MOLIYa», 2008. – 120b. 

6.  Soatov E.U. Oliy matematika kursi. I, II qism. «O’qituvchi». 1994. 

7.  Клименко  Ю.И.  Высшая  математика  для  экономистов.  Теория, 

примеры, задачи. M.: «Экзамен», 2005. 

8.  Красс  М.С.,  Чуринов  В.П.  Высшая  математика  для  экономического 

бакалавриата. Учебник. M.: Дело, 2005. – 576с. 

9.  Общий  курс  высшей  математики  для  экономистов.  Учебник.  /  Под 

обшей редакции В.И. Ермакова. : INFRA – M, 2007. – 656с. 

10. Бабаджанов  Ш.Ш.  Сборник  задач  по  высшей  математике.  Часть  I. 

Учебно-методическое пособие. T.: TMI, 2009. – 88 с.