5-Mavzu. Lobachevskiy geometriyasi elementlari. Lobachevskiy tekisligida to’g’ri chiziqlar, ekvidistant va orisikl chiziqlar

AS bilan A va S orasida kesishmaydi, chunki u
p  AS
bilan AS dan

tashqarqaridagi T nuqtada kesishgan edi. Pash postulatini ACS uchburchak va uning uchlaridan oʻtmagan r toʻgʻri chiziqqa nisbatan qoʻllab r ning CS bilan C va S orasidagi kesishganini, ya’ni r toʻgʻri chiziqning a bilan kesishganini isbotlaymiz. Teorema toʻla isbotlandi. Bundan buyon a ga parallel boʻlgan b toʻgʻri chiziq haqida gapirganda, b da alohida nuqtani koʻrsatib oʻtirmaymiz, chunki isbot qilishimizga asosan, bm toʻgʻri chiziq a ga oʻzining hamma nuqtalariga nisbatan berilgan yoʻnalishda paralleldir.

Teorema. Agar b toʻgʻri chiziq a toʻgʻri chiziqqa berilgan yoʻnalishda parallel boʻlsa, a toʻgʻri chiziq ham oʻz navbatida b toʻgʻri chiziqqa oʻsha yoʻnalishda paralleldir (9-chizma).
9-chizma
Buni isbotlash uchun quyidagilarga ishonch hosil qilish kerak: 1) a toʻgri chiziq b toʻgʻri chiziq bilan kesishmaydi; 2) aAC burchakning a bilan ixtiyoriy  burchak tashkil qilgan har qanday p toʻgʻri chizigʻi b bilan kesishadi (C bilan b dagi ixtiyoriy nuqta belgilangan). b ning a ga parallelligi, va shu tufayli a ning b bilan kesishmasligiga asosan, bu tasdiqlarning birinchisi toʻgʻridir. Ikkinchisini isbotlash qoladi, b toʻgʻri chiziqqa AB perpendikulyar tushiramiz va b da B nuqtaning turli
tarafidan shunday ikki M, N nuqta olamizki,

NAB  BAM
   ^
2

boʻlsin. AMB burchakni γ bilan belgilaylik; γ<bNA, chunki bNA burchak ANM uchburchakning tashqi burchagidir. AN toʻgʻri chiziq bilan δ (δ=^ AMB=γ) burchak tashkil qilgan r toʻgʻri chiziqni yasaylik. r toʻgʻri

chiziq bNA burchak ichidan ketadi, chunki
bNA  
  ; demak u, a

bilan S nuqtada kesishadi. Bu — b ning a toʻgʻri chiziqqa parallelligidan kelib chiqadi. Soʻngra b toʻgʻri chiziqqa M nuqtadan boshlab
parallellik tomoniga qarab MR=NS kesmani qoʻyamiz va AMR ni
olamiz. Bu uchburchak NAS uchburchakka tengdir, chunki yasashimizga
koʻra: AM=AN, MR=NS va    . Agar ΔANS ni soat strelkasiga qarshi

tomonga A nuqta atrofida 2 dan iborat burchakka burasak, u AMR

uchburchak bilan ustma-ust keladi. Jumladan, AS tomon buralishdan

soʻng AR bilan ustma-ust keladi; demak

RAS  2

lekin
  ^

2

yoki

2   , shu sababli p toʻgʻri chiziq MAR uchburchakning A burchagi ichiga kiradi va shuning uchun, bu uchburchakning MR tomoni bilan kesishadi. Xullas, p toʻgʻri chiziq b bilan kesishadi. Ammo p esa BAa burchakning ixtiyoriy toʻgʻri chizigʻidir. Shunday qilib, a toʻgʻri chiziqning b toʻgʻri chiziqqa A nuqtaga nisbatan parallelligi isbot qilindi.
Oldingi teoremadan, a toʻgʻri chizq b ga oʻzining istagan nuqtasiga nisbatan ham parallel degan natijani chiqaramiz. Hozir isbotlangan teorema, a va b toʻgʻri chiziqlar berilgan yoʻnalishda oʻzaro parallel deb gapirishga imkoniyat beradi.

10-chizma 11-chizma