5-Mavzu. Lobachevskiy geometriyasi elementlari. Lobachevskiy tekisligida to’g’ri chiziqlar, ekvidistant va orisikl chiziqlar

3.2-teorema. .
Isbot. to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasidan ga perpendikulyar tushiramiz (7- chizma). Shartga ko’ra bilan to’g’ri chiziqlar kesishmaydi. ning ichidan o’tgan ixtiyoriy nurning bilan kesishishini ko’rsatsak kifoya.
Buning uchun to’g’ri chiziqning bilan hosil qilgan β burchak dan (parallellik burchagidan) kichik bo’lgan holni ko’rsatsak bo’ladi. ni o’tkazib, desak, uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi dan kichik bo’lgani uchun yoki bo’ladi. bo’lgani uchun (gipotenuza katetdan kata) ga dan boshlab kesmani o’lchab qo’yib ( ), nuqtani topamiz. ni o’tkazib, nurni hosil qilamiz. , bo’lgani uchun bilan kesishmaydi, ning ichiga γ ni qo’yamiz, uning bir tomoni nur bilan nuqtada kesishadi (chunki nur parallellik burchagi ichidan o’tadi). Pash aksiomasiga asosan to’g’ri chiziq bilan biror nuqtada kesishadi. ning ustiga ni qo’yib, nuqtani hosil qilamiz. U holda , va bo’lgani uchun , bundan . Lekin bo’lgani uchun kesma nurga tegishli, demak nur ni nuqtada kesadi.
Quyidagi teoremalarni yuqoridagi kabi isbotlash mumkin.
3.3-teorema. Ikki to’g’ri chiziqning har biri ma’lum yo’nalishdagi bitta to’g’ri chiziqqa parallel bo’lsa, ular ham shu yo’nalishda o’zaro parallel bo’ladi.
3.4-teorema. Ikki parallel to’g’ri chiziqdan biridagi nuqtadan ikkinchisigacha bo’lgan masofa parallellik yo’nalishi tomon yetarlicha kichiklashib boradi, parallellik yo’nalishiga teskari tomonda esa bu masofa yetarlicha kattalashib boradi (ya’ni parallel to’g’ri chiziqlar parallellik yo’nalishi tomon bir-biriga asimptotik yaqinlashib boradi).
3.5-teorema. Har qanday o’tkir burchakning bir vaqtda bir tomoniga perpendikulyar bo’lib, ikkinchi tomoniga parallel to’g’ri chiziq mavjud.
Bu teorema boshqacha quyidagicha ifodalanadi:
Har qanday o’tkir burchak parallellik burchagi bo’la oladi.