5-mavzu. Qoldiqlar haqidagi Xitoy teroemasi. Ixtiyoriy modul bo`yicha n-darajali taqqoslamalar

8-Misol. Quydagi taqqoslamani o’zaro tub modullar bo’yicha taqqoslamalar sistemasiga keltirib yeching:
x³ + 2x + 3  0 (mod 15) .
Yechilishi. Berilgan taqqoslama quyidagi sistemaga teng kuchli:

Bu sistemaningn ikkinchi taqqoslamasi (x – 1)x(x + 1)  0 (mod 3) taqqoslamaga teng kuchli va u x ning barcha butun qiymatlari uchun o’rinli. Demak berilgan taqqoslama quyidagi taqqoslamaga teng kuchli bo’ladi
x³ + 2x + 3  0 (mod 5),
bu yerdan x  2; 4 (mod 5) ni hosil qilamiz.
Berilgan 15 modul bo’yicha quyidagi yechimlarni hosil qilamiz:
x  2; 7; 12; 4; 9; 14 (mod 15). ■
9-Misol. Quyidagi chiziq qaysi butun nuqtalardan o’tadi:
15u = 2x³ – 5x² + 4x + 11, bu yerda – 2 < x < 8 ?
Yechilishi. Chiziq tenglamasidan 2x³ – 5x² + 4x + 11  0 (mod 15) taqqoslamaga ega bo’lamiz. Bu taqqoslama esa quyidagi sistemaga teng kuchli
2x³ – 5x² + 4x + 11  0 (mod 5)
2x³ – 5x² + 4x + 11  0 (mod 3).
Birinchi taqqoslama x  2; 4 (mod 5) yechimlarga, ikkinchisi esa
x  1; 2 (mod 3) yechimlarga ega.
Endi
x  2 (mod 5) x  2 (mod 5) x  4 (mod 5) x  4 (mod 5).
x  1 (mod 3) x  2 (mod 3) x  1 (mod 3) x  2 (mod 3),
taqqoslamalarni yechib, x  7; 2; 4; 14 (mod 15) yechimlarni topamiz.
Shartda ko’rsatilgan oraliqqa x ning quyidagi qiymatlari tushadi: x =7; 2; 4; - 1. u ning mos qiymatlari chiziqningn berilgan tenglamasidang topiladi. ■
10-Misol. Taqqoslamalar sistemasini yeching:
9u  15
(mod 12),
7x – 3u  1
Yechilishi. Birinchi taqqoslamaning ikkala tomonini va modulini 3 ga qisqartirib, 3u  5 (mod 4), yoki 3u  9 (mod 4), yoki u  3 (mod 4) ni hosil qilamiz.
12 modul bo’yicha u  3; 7; 11 (mod 12) yechimlar kelib chiqadi.

Bu yerdan quyidagi uchta sistemani hosil qilamiz:
7x  1 + 3u 7x  1 + 3u 7x  1 + 3u
(mod 12), (mod 12), (mod 12)
u  3 u  7 u  11

Bu sistemalarni soddalashtirib,

x  10 x  10 x  10
(mod 12), (mod 12), (mod 12)
u  3 u  7 u  11.
yechimlarni hosil qilamiz. ■


11-Misol. Taqqoslamalar sistemasin yeching:
x + 2u  3
(mod 5).
4x + u  2
Yechilishi. Ikkinchi taqqoslamani 2 ga ko’paytirib, hosil bo’lgan taqqoslamadan birinchi taqqoslamani hadma-had ayiramiz: 7x  1 (mod 5), bu yerdan x  3 (mod 5) ni hosil qilamiz. Birinchi taqqoslamani ikkala tomonini 4 ga ko’paytirib, hosil qilingan taqqoslamadan ikkinchisini ayiramiz: u  0 (mod 5). Tekshirish:
x  3
(mod 5)
u  2

sistema berilgan sistemaning yechimidan iborat ekanligini ko’rsatadi. ■

2. Quyidagi taqqoslamalardan qaysilari to’g’ri:
a) 1  -5 (mod 6); b) 546  0 (mod 13); c) 1956  5 (mod 12);
d) 2³  1 (mod 4); e) 3m  -1 (mod m)?