6-7-§. Variaciya esabınıń ápiwayı máselesiniń ulıwmalastırılıwı Joqarı tártipli tuwındılardan ǵárezli bolǵan funkcionallar

Variaciya esabınıń ápiwayı máselesiniń ulıwmalastırılıwı temasına derek mısallar sheshiw


1 – mısal. Tómendegi funkcionaldıń ekstremalın tabıń:
(6.1)
Sheshiliwi. Bul jaǵdayda bolǵanlıqtan, Eyler –Puasson teńlemesi tómendegishe jazıladı:

Bunda
yamasa boladı. Bul teńlemeniń ulıwma sheshimin anıqlaymız:

.
Endi berilgen shegaralıq shártlerden paydalanıp, turaqlılarınıń mánislerin anıqlaymız:
a)

b)

v)
g) Demek, berilgen funkcionaldıń izlenip atırǵan ekstremalı boladı.
2-mısal. eki funkciyadan ǵárezli bolǵan mına funkcionaldıń ekstremalların tabıń:
(6.2)
Sheshiliwi. Berilgen funkcionalǵa sáykes Eylerdıń ekinshi tártipli differenciallıq teńlemeleriniń sistemasın jasaymız. Teńlemelerdıń bul sisteması berilgen funkcional ushın tómendegishe jazıladı:

Sonlıqtan Eyler teńlemeleriniń sisteması tómendegi kóriniske iye boladı: ekinshi tártipli differenciallıq teńlemelerdiń bul sistemasın sheship, mına nátiyjelerge kelemız:
Endi berilgen shegaralıq shártlerden paydalanıp, erkli turaqlılar S₁,S₂,S₃,S₄ lerdıń mánislerin anıqlaymız:
,
Bunnan mánislerine iye bolamız. Sonlıqtan berilgen funkcionaldıń ekstremalları tómendegishe boladı:

3 - mısal. Mına funkcionaldıń ekstremalların tabıń:
(6.3)


Sheshiliwi. Bul jaǵdayda Eylerdıń teńlemeleriniń sisteması tómendegishe jazıladı:

Bul sistemadan funkciyasın joq etemız:

Sońǵı teńlemeniń ulıwma sheshimi mına kóriniske iye boladı:

Endi shegaralıq shártlerden paydalanıp, erkli turaqlılardı tabamız: bolǵanlıqtan, mánislerine iye boladı. Demek,

boladı. funkciyasın teńliginen paydalanıp tabamız:

Bunnan soń turaqlıların shártlerinen paydalanıp anıqlaymız: - erkli turaqlı bolıp qaladı. Sonda

boladı. Solay etip, juwmaǵında berilgen funkconaldıń ekstremallarınıń mına toparına iye bolamız:

bunda - erkli turaqlı.