6-maruza. Funksiyaning differensiali. Differensial hisobining asosiy teoremalari

2-teorema  (Lagranj  teoremasi).  Agar 

  funksiya 

  kesmada 

aniqlangan va uzluksiz bo’lib, 

 intervalda differensiallanuvchi bo’lsa, u holda 

 intervalga tegishli kamida bitta shunday   nuqta topiladiki, uning uchun 

                

  

munosabat o’rinli bo’ladi. 

Lagranj  teoremasida  Roll  teoremasidagidek,  funksiyadan 

  kesmaning 

chetki  nuqtalarida  teng  qiymatlarga  erishishi  talab  qilinmaydi.  Bu  teoremadan, 

xususan, 

 holda, 

 ekanligi kelib chiqadi, shu ma’noda Lagranj 

teoremasi Roll teoremasining umumlashmasi hisoblanadi.  

Teoremani  geometrik  izohlaydigan  bo’lsak,  uning  har  bir  sharti  o’rinli 

bo’lganda, 

 funksiya grafigining 

 yoyga tegishli hech bo’lmaganda bitta 

(4 – rasmda ikkita 

 va 

 nuqta topiladiki, chiziqning shu nuqtasiga o’tkazilgan 

urinma 

 vatarga parallel bo’ladi. 

                                                   

 

 

                

 

 

 

 

 

 

 

                   

                             

                                            

 

 

 

 

4-rasm. 

 

Agar 

 

almashtirish 

kiritsak, 

 

nuqtani 

  ko’rinishda  ifodalash  mumkin.  Agar  bu 

almashtirish e’tiborga olinsa, Lagranj formulasi 

 

 

(5) 

shaklda yoziladi va unga Lagranjning chekli orttirmalar formulasi deyiladi. 

1

a

0

)

(

'



c

f

c

2

a

2

a





;

a b

O x

( )

y

f

x







b

a ;





b

a ;





b

a ;

c

( )

( )

'( ) (

)

f b

f

a

f

c

b

a







[ ; ]

a b

)

(

)

(

b

f

a

f



0

)

(

'



c

f

)

( x

f

y



AB

D

)

E

AB

y

E

B

A

O

a

1

c

2

c

b

x

D

x

a

b







c













0 ;1

c

a

b

a

a

x





















x

x

a

f

a

f

x

a

f















)

(

'

)

(

)

(



3-teorema  (Koshi  teoremasi).  Agar 

  va 

  funksiyalar 

 

kesmada  uzluksiz  va 

  intervalda  chekli 

  va 

  hosilaga  ega  bo’lib 

( )

0

g

x





, 

 bo’lsa, u holda kamida bitta shunday 

 nuqta topiladiki  

                                                         (6) 

tenglik o’rinli bo’ladi.  

Bu formula Koshi  formulasi  deyiladi. 

Lagranj formulasi Koshi formulasining xususiy holi bo’lib, Koshi formulasida 

 bo’lsa, Lagranj formulasi hosil bo’ladi. 

 

1-masala. 1)

 va 

  funksiyalar uchun 

 kesmada 

Koshi  teoremasi  shartlari bajarilishini tekshiring va   nuqtani toping. 

Yechimi. 

 kesmada 

 va 

 funksiyalar uzluksiz va 

 

 chekli hosilalar mavjud. 

 

, 

 

 

 

4-teorema.  Agar 

  funksiya 

  nuqtaning  biror  bir  atrofida 

aniqlangan  va  shu  atrofda 

  hosilalarga  ega 

bo’lsa, u holda bu atrofga tegishli har bir   uchun Teylor formulasi: 

 

o’rinli bo’ladi. 

Bu yerda 

 

 

(7) 

Teylor formulasining Lagranj shaklidagi qoldiq hadi deb yuritiladi. 

Agar (3) da 

 almashtirish bajarsak, Teylor formulasi 

ko’rinishni oladi va u Lagranjning umumlashma chekli orttirmalar formulasi deb 

ataladi. Bu yerda 

. 

Agar Teylor formulasida 

 bo’lsa, u holda 

   

formula hosil bo’ladi. Bu esa Makloren formulasi deb ataladi. 

)

( x

f

)

( x

g

[ ; ]

a b





b

a ;

)

(

' x

f

)

(

' x

g





;

x

a b







;

c

a b



 

 

c

g

c

f

a

g

b

g

a

f

b

f

'

'

)

(

)

(

)

(

)

(







x

x

g



)

(

2

)

(

2





x

x

f

1

)

(

3





x

x

g





2

;

1

c





2

;

1

)

( x

f

)

( x

g

 

'

2 ,

f

x

x



2

'( )

3

0

g

x

x





( )

6 ,

( )

3;

( )

7 ,

( )

0

f b

f

a

g b

g a









2

3

2

1 4

9

1 4

.

7

3

9

c

c

c











)

( x

f

y



a

x



 





1

'( ),

''( ), ...,

( ),

( )

n

n

f

x

f

x

f

x

f

x



x









 

2

'( )

''( )

( )

( )

( )

...

(

)

( ) ,

1!

2 !

!

n

n

n

f

a

f

a

f

a

f

x

f a

x

a

x

a

x

a

R

x

n



















 





















1

1

!

1















n

n

n

a

x

n

a

x

a

f

x

R



x

a

x







 





 

















1

2

1

'

''( )

( )

(

)

(

)

( )

...

1!

2 !

!

1 !

n

n

n

n

f

a

f

a

f

a

f

a

x

f a

x

f a

x

x

x

x

n

n











 





 



















0 ; 1

 

0



a

 

 

 





 













1

2

1

'' 0

0

0

'( 0 )

( )

( 0 )

...

0 ;1

1!

2 !

!

1 !

n

n

n

n

f

f

f

f

f

x

f

x

x

x

x

n

n























Teylor va Makloren formulalari funksiyalarni ko’phad shaklida ifodalashda, 

funksiyalarning  taqribiy  qiymatlarini  hisoblashda,  funksiyalarni  tekshirish  va 

ularning limitlarni aniqlashda qo’llaniladi. 

Masalan, 

 nuqta atrofidagi   ning ixtiyoriy qiymatlari uchun quyidagilar 

o’rinli: 

1) 

 

2) 

 

3) 

 

4) 

 

5) 

 

Teylor  formulasini  keltirib  chiqarishini 

darajali  butun  ko’phad  uchun 

ko’rsatamiz. 

darajali butun ko’phad 

 berilgan bo’lsin 

. 

       

(8) 

Uni   marta ketma-ket differensiallaymiz 

 

. 

Bu  formulalarning  barchasida 

  deb  qarab,  ko’phad  koeffisientlarining 

qiymatlarini  ko’phad  va  uning  hosilalarining 

  nuqtadagi  qiymatlari  orqali 

topamiz. 

 

. 

Bu qiymatlarni hisobga olib, Makloren formulasini hosil qilamiz: 

.   

(9) 

Ma’lumki, ko’phadni faqatgina   noma’lumning darajalari bo’yicha emas, 

balki 

 ifodaning darajalari bo’yicha ham yoyish mumkin: 

. 

 

(10) 

(10) da 

 deb olamiz. 

 U holda 

. 

Bu  yerda 

  ekanligini  yuqorida 

ko’rgan 

edik. 

 

ekanligidan  

 

0



x

x

...;

!

...

!

3

!

2

1

3

2















n

x

x

x

x

е

n

х





...;

!

)

1

)...(

1

(

...

!

2

)

1

(

1

1

2























n

x

n

m

m

m

x

m

m

mx

x

n

m

...;

)

1

(

...

4

3

2

)

1

ln(

1

4

3

2





















n

x

x

x

x

x

x

n

n

;

....

)!

1

2

(

)

1

(

...

!

7

!

5

!

3

sin

1

2

1

7

5

3























n

x

x

x

x

x

x

n

n

....

)!

2

(

)

1

(

...

!

6

!

4

!

2

1

cos

2

6

4

2

















n

x

x

x

x

x

n

n



n



n

)

( x

p

2

0

1

2

( )

...

n

n

p x

a

a x

a x

a x











n





........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

,

)

1

(

2

...

3

2

1

)

(

'

'

'

,

)

1

(

...

3

2

2

1

)

(

'

'

,

...

3

2

)

(

'

3

3

2

3

2

1

2

3

2

1





























































n

n

n

n

n

n

x

a

n

n

n

a

x

p

x

a

n

n

x

a

a

x

p

x

a

n

x

a

x

a

a

x

p

n

n

a

n

x

p











...

3

2

1

)

(

)

(

0



x

0



x

 

,

!

2

0

'

'

,

!

1

)

0

(

'

),

0

(

2

1

0

p

a

p

a

p

a







 

 

3

0

'''( 0 )

, ...,

3 !

!

n

n

p

p

a

a

n





 

 

2

3

''' 0

'( 0 )

''( 0 )

( 0 )

( )

( 0 )

...

1!

2 !

3 !

!

n

n

p

p

p

p

p x

p

x

x

x

x

n













x

(

)

x

a



2

0

1

2

( )

(

)

(

)

...

(

)

n

n

p x

a

a

x

a

a

x

a

a

x

a

















,

( )

(

)

(

)

x

a

x

p x

p a

x

p

x



 



 





2

0

1

2

(

)

(

)

...

(

)

n

n

p

x

a

a

x

a

x

a

x







 









 

0

1

2

'( 0 )

''( 0 )

( 0 )

( 0 ) ,

,

, ...,

1!

2 !

!

n

n

p

p

p

a

p

a

a

a

n









(

)

(

) ,

'(

)

'(

) ,

''(

)

''(

) , ....

p

x

p a

x

p

x

p

a

x

p

x

p

a

x





 





 





 

( 0 )

( ) ,

'( 0 )

'( ) ,

''( 0 )

''( ) , ...

p

p a

p

p

a

p

p

a







va 

 

U holda 

. 

)

( x

f

funksiya 

 ko’phad  ko’rinishida emas, balki  istalgan funksiya 

bo’lganda ham uning uchun Teylor  formulasini hosil qilish mumkin. 

 

5-teorema 

(Lopital 

qoidasi). 

 

nuqtaning 

biror 

atrofida 

differensiallanuvchi, 

  nuqtaning  o’zida  differensiallanuvchi  bo’lishi  shart 

bo’lmagan 

  va 

  funksiyalar  uchun, 

  nuqtaning  atrofida 

  va 

lim

( )

0 ,

lim

( )

0

x

a

x

a

f

x

g x









  yoki 

lim

( )

,

lim

( )

x

a

x

a

f

x

g x





 

 

  shartlar  o’rinli 

bo’lib, 

  limit  mavjud  bo’lsa,  u  holda 

  ham  mavjud  bo’ladi  va 

 tenglik o’rinli bo’ladi. 

Yuqoridagi qoida   ni 

 bilan almashtirilgan hol uchun ham o’rinli. 

Lopital  qoidasi 

  yoki 

  ko’rinishidagi  aniqmasliklarni  ochishda 

qo’llaniladi. 

Agar 

  nisbat 

  nuqtada 

  yoki 

  ko’rinishidagi 

aniqmasliklardan iborat bo’lsa, u holda qoida 

 nisbatga qo’llaniladi va 

bu jarayon aniqmaslik ochilmaguncha davom ettiriladi. 

Algebraik  almashtirishlar  yordamida 

  yoki 

  ko’rinishdagi 

aniqmasliklar 

  yoki 

  aniqmasliklarning  biriga  keltiriladi,  so’ngra  Lopital 

qoidasi qo’llanilib, aniqmasliklar ochiladi. 

  ko’rinishdagi  aniqmasliklar  esa  dastlab  logarifmlash  yo’li 

bilan 

 yoki 

 aniqmasliklarga keltiriladi, so’ngra aniqmasliklar ochiladi.