6-maruza. Funksiyaning differensiali. Differensial hisobining asosiy teoremalari

2-masala. Lopital qoidasini qo’llab, quyidagi limitlarni topamiz. 

1. 

 

2. 

  

3.





.

2

1

1

1

1

1

1

1

lim

0

0

1

1

ln

1

1

ln

lim

ln

ln

1

ln

lim

ln

1

1

lim

2

1

1

1

1























































































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

  

4. 





x

x

x

x

e

1

0

lim





       











x

x

x

e

y

1

belgilash kiritamiz 

 

0

1

2

3

'( )

''( )

'''( )

( )

( ) ,

,

,

, ...,

1!

2 !

3 !

!

n

n

p

a

p

a

p

a

p

a

a

p a

a

a

a

a

n



















 

2

'( )

''( )

( )

( )

( )

...

(

)

1!

2 !

!

n

n

p

a

p

a

p

a

p x

p a

x

a

x

a

x

a

n

















)

( x

p

a

а

)

( x

f

)

( x

g

а

0

)

(

'



x

g

)

(

'

)

(

'

lim

x

g

x

f

a

x



)

(

)

(

lim

x

g

x

f

a

x



)

(

'

)

(

'

lim

)

(

)

(

lim

x

g

x

f

x

g

x

f

a

x

a

x







a



0

0





)

(

'

)

(

'

x

g

x

f

a

x



0

0





)

(

'

)

(

'

x

g

x

f









0











0

0





 

)

0

(

),

(

,

1

0

0





0

0





















.

7

4

1

1

2

lim

'

)

4

ln(

'

12

lim

0

0

4

ln

12

lim

3

2

3

2

3







































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x







 















.

2

2

sin

2

lim

'

2

'

1

lim

0

2

1

lim

2

1

1

1







































x

x

ctg

x

x

tg

x

x

x

x





x

e

x

y

x





ln

1

ln

    









2

1

1

1

lim

0

0

ln

1

lim

ln

lim

0

0

0



































x

x

x

x

x

x

e

x

e

x

e

x

y

  

Demak 

2

ln

lim

0





y

x

 

.

2

e

y



   

 

O‘z – o‘zini tekshirish uchun savollar 

 

1.  Differensiallanuvchi funksiya uchun o‘rta qiymat haqidagi Roll teoremasini  

bayon qiling va uning geometrik ma‘nosini izohlang. 

2.  O‘rta qiymat haqidagi Lagranj teoremasi nimani tasdiqlaydi va teoremaning  

3.  geometrik ma‘nosini chaqing. 

4.  Lagranjning chekli orttirmalar formulasini yozing. 

5.  Roll teoremasi Lagranj teoremasining xususiy holi deyish mumkinmi va nima   

uchun? 

6.  Koshi  formulasini yozing va xususiy hol  sifatida  Lagranj formulasini hosil 

qiling.     

7.  Teylor formulasi nimani aniqlab beradi va uni yozing. 

8.  Teylor formulasining Lagranj shaklidagi qoldiq hadini yozing. 

9.  Lagranjning umumlashma chekli orttirmalar formulasini yozing va uni  

10. Lagranjning chekli orttirmalar formulasi bilan solishtiring. 

11. Makloren formulasi deb, qanday formulaga aytiladi. 

12. Teylor – Makloren formulalarining qo‘llanilishini gapirib bering. 

13. Lopital qoidasi nimalardan iborat? 

14. Lopital  qoidasi  yordamida 



 



   













1

,

0

,

,

0

0

    va 

 

0



  aniqmasliklarni  ham 

ochish mumkinmi va qanday qilib? 

 

Mustaqil ishlash uchun misollar 

 

1.  Roll teoremasi tasdig’ini quyidagi kesmalarda berilgan funksiyalar uchun tekshirib 

ko’ring: 

a) 

 b) 

 

c) 

 d) 

 

2.  Lagranj  teoremasi  tasdig’ini  quyidagi  kesmalarda  berilgan  funksiyalar  uchun 

tekshirib ko’ring: a) 

 b) 

 

3.  Quyidagi  funksiyalar  uchun  berilgan  kesmalarda  Lagranj  formulasini  yozing:  a) 

 b) 

 

4. 

  kesmada  Koshi  formulasini  yozing  va 

  ni 

aniqlang. 

5. 

 ko’phadni 

 ning  darajalari bo’yicha yoying. 

6. 

 funksiyani 

 ning darajalari bo’yicha yoying 

 

 

;

8

3

:

2

;

1

2







x

x

y





;

cos

log

:

3

;

3

2

x

y













;

:

;

0

sin x

e

y









.

6

7

4

:

2

;

1

2

3











x

x

x

y

 

;

:

3

;

0

2

x

y



2

;

:

ln

.

e e

y

x















;

;

,

2

sin





x

y







.

1

;

1

,

ln

x

x

x

x

y



























2

;

0

,

cos

)

(

,

sin

)

(



x

x

g

x

x

f

c

5

3

2

)

(

2

3









x

x

x

x

f

2



x

x

e

x

f



)

(

1



x









.

1

4

gacha

x



7. 

 va 

 larning  farqi 

 dan ortiq   yemasligini ko’rsating. 

8.  Quyidagi funksiyalarning limitini toping 

a)

2

lim

3

3









a

x

a

x

a

x

        v) 

2

sin

1

lim

0







bx

e

x

a

x

  

s) 

x

x

e

e

x

x

x

cos

sin

lim

0







             d) 

x

n

x

e

x







lim

 

 

ye) 









x

arctgx

x

ln

2

lim









 

f) 

x

a

x

x

ln

lim





                     j) 

tgx

x

x















1

lim

0

 

 

 

   

Foydalanishga tavsiya etiladigan adabiyotlar ro`yxati 

 

1.  Бабаджанов  Ш.Ш.  Высшая  математика.  Часть  I.  Учебное  пособие.    T.: 

«IQTISOD - MOLIYa», 2008. – 336 с. 

2.  Бабаджанов  Ш.Ш.  Высшая  математика.  Часть  II.  Учебное  пособие.    T.: 

«IQTISOD - MOLIYa», 2008. – 288 с. 

3.  Высшая математика для экономистов. Учебник. 2-e изд. / Под. Редакция Н.Ш. 

Крамера М.: ЮНИТИ 2003. – 471с. 

4.  Karimov M., Abdukarimov R. Oliy matematika. O`quv qo`lanma. T.: «IQTISOD - 

MOLIYa», 2009. – 204b. 

5.  Raximov  D.G.,  Roishev  A.R.  Oily  matematika.  1  qism.  O`quv  qo`llanma.  T.: 

«IQTISOD - MOLIYa», 2008. – 120b. 

6.  Soatov E.U. Oliy matematika kursi. I, II qism. «O’qituvchi». 1994. 

7.  Клименко  Ю.И.  Высшая  математика  для  экономистов.  Теория,  примеры, 

задачи. M.: «Экзамен», 2005. 

8.  Красс  М.С.,  Чуринов  В.П.  Высшая  математика  для  экономического 

бакалавриата. Учебник. M.: Дело, 2005. – 576с. 

9.  Общий  курс  высшей  математики  для  экономистов.  Учебник.  /  Под  обшей 

редакции В.И. Ермакова. : INFRA – M, 2007. – 656с. 

10. Бабаджанов  Ш.Ш.  Сборник  задач  по  высшей  математике.  Часть  I.  Учебно-

методическое пособие. T.: TMI, 2009. – 88 с. 

 

 

 

 

 

 

)

sin(

h









cos

sin

h



2

2

1

h