6-Ma’ruza: Matrisaning xos son va xos vektorlarni topish Reja

_{6-Ma’ruza: Matrisaning xos son} va xos vektorlarni topish
Reja:

1. 
   Xos son va xos vektorlarini topish masalasi.
   
2. 
   A.N.Krilov metodi.
   
3. 
   A.N.Krilov metodi yordamida matrisaning xos son va xos vektorlarini topish.
   

Tayanch iboralar: Xos qiymat, xos vektor, minimal ko’phad, diagonal minor, nol bo’lmagan vektor.

Agap biror noldan farqli vektor uchun

(11.1)
tenglik bajarilsa, u holda son A kvadrat matrisaning xos soni yoki xarakteristik soni deyiladi. Bu tenglikni qanoatlantiradigan har qanday noldan farqli vektor A matrisaning xos soniga mos keladigan xos vektori deyiladi. Ko’rinib turibdiki, agar xos vektor bo’lsa, u holda ( — ixtiyoriy son) vektor ham xos vektor bo’ladi.
Matrisaning xos soni va xos vektori haqidagi ma’lumotlar matematikada va uning boshqa sohalardagi tatbiqlarida ham keng qo’llaniladi. Bu yerda iterasion prosessning yaqinlashishi va yaqinlashish tezligi V matrisaning moduli bo’yicha eng katta xos sonining miqdoriga bog’liq edi.
Astronomiya, mexanika, fizika, ximiyaning qator masalalarida ayrim matrisalarning barcha xos sonlarini va ularga mos keladigan xos vektorlarini topish talab qilinadi. Bunday masala xos sonlarning to’liq muammosi deyiladi.
Ayrim masalalarda esa, masalan, yadro masalasida, matrisaning moduli bo’yicha eng katta yoki eng kichik xos sonini topish talab qilinadi. Tebranuvchi jarayonlarda esa matrisa xos sonlarining modullari bo’yicha ikkita eng kattasini aniqlashga zaruriyat tug’iladi. Matrisalarning bitta yoki bir nechta xos son va xos vektorlarini topish xos sonlarining qismiy muammosi deyiladi.
Bir jinsli (11.1) sistemaning noldan farqli yechimi mavjud bo’lishi uchun
(11.2)
shart bajarilishi kerak. Bu tenglama odatda A matrisaning asriy (bu termin ayetronomiyadan kirib qolgan) yoki xarakteristak tenglamasi deyiladi. (11.2) tenglamannng chap tomoni
(11.3)
-darajali ko’phad bo’lib, u A matrisaning xarakteristik ko’phadi deyiladi. Ayrim hollarda (11.3) ko’phad o’rnida A matrisaning xos ko’phadi deb ataluvchi
(11.4)
ko’phad bilan ish ko’riladi. Matrisaning xos sonlari uning xos ko’phadining ildizlari bo’ladi. (11.4) ko’phad - darajali bo’lganligi uchun u ta ildizga ega. A matrisaning xos soniga mos keladigan xos vektorlarini topish uchun
(11.5)
bir jinsli tenglamalar sistemasning noldan farqli yechimini topish kerak. Shunday qilib, xos son va xos vektorlarni topish masalasi uch bosqichdan iborat: 1) ni qurish, 2) tenglamani yechib, barcha xos sonlarni topish, 3) barcha larga mos kelgan xos vektorlarni (11.5) dan topish. Bu bosqichlarning har biri yetarlicha murakkab hisoblash masalalaridan iboratdir. Haqiqatan ham, (11.2) determinantning har bir satri va har bir ustunida qatnashganligi uchun, bunday determinantni ning darajalariga nisbatan yoyib chiqish, ya’ni (11.3) tenglikni hosil qilish katta qiyinchilnk tug’diradi. Algebradan ma’lumki, umumiy holda, ning koeffisiyentlarini A matrisaning ishora bilan olingan - tartibli bosh minoralari ning yig’indisiga teng:
(11.6)
va hokazo. Demak,
. (11.7)
Yaqqol ko’rish mumkinki, A matrisaning -tartibli diagonal minoralarining soni ga teng. Demak, -tartibli matrisani xos ko’phadi ning kozffisiyentlarini bevosita hisoblash uchun

ta har xil tartibli determinantlarni hisoblash kerak. Yetarlicha katta uchun bu masela katta xisoblashlarni talab qiladi.
Viyet teoremasidan foydalgnib, quyidagi tengliklarni yozishimiz mumkin:

Bu tengliklarni (11.6) tengliklarning birinchisi va (11.7) tekglik bilan solishtirsak,

kelib chiqadi.
Shunday qilib, matrisaning barcha xos sonlarining yig’nndisi uning izi tr ga (inglizcha trace — iz so’zidan) teng bo’lib, ularning ko’paytmasi shu matrisaning determinantiga teng. Bu yerdan xususiy holda quyidagi kelib chiqadi: A matrisaning hyech bo’lmaganda birorta xos soni nolga teng bo’lishi uchun bo’lishi zarur va kifoyadir.
Xos son va xos vektorlarni topish metodlari ikki gruppaga bo’linadi: aniq yoki to’g’ri metodlar va iterasion metodlar. Biriichi gruppaga kiradigan metodlar bo’yicha matrisaning xos ko’phadi topiladi (ya’ni koeffisiyentlar hisoblanadn), keyin uning ildizlarini topib xos sonlarni hosil qilinadi va nihoyat, xos sonlardan foydalanib xos vektorlar quriladi. Bu metodlarning aniq metodlar deyilishiga sabab shundan iboratki, agar matrisa elementlari aniq berilgan bo’lsa va hisoblashlar aniq olib borilsa, natijada xarakteristik ko’phad koeffisiyentlarining qiymatlari ham aniq topiladi va xos vektorlarning komponentlari xos sonlar orqali aniq formulalar bilan ifodalanadi. Aniq metodlar, odatda, xos sonlarning to’liq muammosini yechish uchun qo’llaniladi.
Iterasion metodlarda xarakteristik sonlar xarakteris-tik ko’phad koeffisiyentlarini aniqlamasdan turib, bevosita hisoblanadi. Bu esa hisoblash masalasini juda soddalashtiradi: yuqori darajali algebraik tenglamalarni yechishdan ozod qiladi. Iterasion metodlarda xos sonlarni hisoblash bilan bir vaqtda xos vektorlar ham topiladi. Bu metodlarning sxemasi iterasion xarakterga ega. Bu metodlarda xos son va xos vektorlar sonli va vektorlar ketma-ketligining limiti sifatida topiladi.
A.N.Krilov metodi.
Akademik A.N.Krilov 1931 yilda xos sonlar muammosini yechishning qulay metodini yaratadi. U o’z metodining g’oyasini tushuntirish uchun berilgan matrisa bilan bog’liq bo’lgan oddiy differensial tenglamalar sistemasini kiritadi va uning ustida almashtirish olib boradi. Bu almashtirishning algebraik mohiyatini aniqlash bilan N.N.Luzin, I.N.Xladovskiy, F.R.Gantmaxer, D.K.Faddevlar shug’ullanishgan.Biz bu yerda A.N.Krilov metodining manna shu algebraik interpretasiyasini ko’rib chiqamiz.
Matrisalarning minimal ko’phadlari. Avval chiziqli algebradan ayrim ta’rif va teoremalarni keltiramiz. Agar kvadrat matrisa uchun

tenglik o’rinli bo’lsa, u holda

ko’phad matrisa uchun nolga aylantiruvchi ko’phad deyiladi. Faqat keltirilgan, ya’ni bosh koeffisiyenti birga teng bo’lgan ko’phadlarni qaraymiz. Bunday ko’phadlarning to’plami bo’sh emas, Gamilton-Keli teoremasiga ko’ra matrisaning xos ko’phadi uning nolga aylantiruvchi ko’phadlaridir: . Demak, -tartibli ixtiyoriy kvadrat matrisa uchun -darajali nolga aylantiruvchi ko’phad mavjud. Bunday ko’phad yagona emas, chunki agar ga bo’linadigan har qanday boshqa ko’phad ham nolga aylantiruvchi ko’phad bo’ladi. matrisani nolga aylantiruvchi ko’phadlar orasida eng kichik darajaga ega bo’lgan yagona ko’phad mavjud. Bu ko’phad matrisaning minimal ko’phadi deyiladi. Har qanday nolga aylantiruvchi ko’phad, shu jumladan matrisaning xos ko’phadi ham minimal ko’phadga bo’linadi. Minimal ko’phadning ildizlari xos ko’phadning barcha bir-biridan farqli ildizlaridan iboratdir.
Yana quyidagi tushunchani kiritamiz. Faraz qilaylik, biror vektor bo’lsin. Ma’lumki, o’lchovli fazoda tadan ortiq chiziqli erkli vektor bo’lishi mumkin emas. Shuning uchun
(11.8)
vektorlar orasida chiziqli bog’lanish mavjuddir. Hattoki, ixtiyoriy vektor uchun ham
(11.9)
chiziqli bog’lanish mavjud. Demak, matrisaning minimal ko’phadining darajasi dan kichik bo’lsa, (11.8) sistemada chiziqli erkli vektorlarning soni dan kichikdir. Berilgan vektor uchun
(11.10)
tenglikni qanoatlantiradigan ko’phadlar orasida bosh koeffisiyenti birga teng bo’lgan eng kichik darajali yagona ko’phad mavjudki, uning uchun

tenglik o’rinli bo’ladi. Bunday ko’phad vektorning minimal ko’phadi deyiladi va u (11.10) tenglikni qanoatlantiruvchi ko’phadning bo’luvchisi bo’ladi. Xususiy holda, ixtiyoriy vektorning minimal ko’phadi matrisa minimal ko’phadi ning bo’luvchisi bo’ladi. Agar (11.8) sistemada vektorlar chiziqli erkli bo’lib, ularga chiziqli bog’liq bo’lsa,
,
u holda

ko’phad matrisaning minimal ko’phadi ga yoki uning bo’luvchisi ga teng.
Minimal ko’phadni topish. Endi A.N.Krilov metodini ko’rib chiqamiz. Ixtiyoriy noldan farqli vektorni olib,
(11.11)
vektorlar ketma-ketligini tuzamiz. Yuqorida aytganimizdek, bu vektorlar orasida
(11.12)
chiziqli kombinasiya mavjuddir. Agar buni koordinatalarda yozib olsak, larni topish uchun quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:
(11.13)
Bu sistemaning determinanti

faqat vektorlar chiziqli erkli bo’lgandagina noldan farqlidir, chunki bu determinantning ustunlari shu vektorlar koordinatalaridan tuzilgan.
Agar Gauss metodining to’g’ri yurishidagi barcha qadam bajarilib, (11.13) sistema quyidagi
(11.14)
uchburchak shaklga keltirilsa, u holda bo’lib, vektorlar chiziqli erklidir. U vaqtda (11.14) sistemadan qaralayotgan kombinasiyaning koeffnsiyentlari ni topa olamiz.
Agar Gauss metodidagi to’g’ri yurishning faqat ta qadami bajarilsa, u holda faqat avvalgi ta torlar chiziqli erkli bo’ladi. Kerakli

chiziqli kombinasiyani koordinatalarda yozib olamiz:
(11.15)
Bu sistemadan Gauss metodi yordamida ta chiziqli erkli tenglamalarni ajratib olib, kogffisiyentlarki topamiz.
Shunday qilib, biz bo’lganda A matrisaning xos ko’phadini va bo’lganda uning bo’luvchisini topishimiz mumkin. Avval bo’lgan holni ko’raylik. Bu xolda (11.12) chiziqli kombinasiyaning koeffisiyentlari

xos ko’phadning mos ravishda koeffisiyentlariga teng:
.
Haqiqatan ham, Gamilton-Keli teoremasiga ko’ra
.
Bu tenglikni vektorga ko’paytirib va

larni hisobga olib,

ga ega bo’lamiz. Bu tenglikni (11.12) dan ayirib,
(11.16)
ni hosil qilamiz.
vektorlar chiziqli erkli bo’lganligi uchun (11.16) tenglik faqat bo’lgandagina bajariladi.
Demak, bo’lganda qurilgan chiziqli kombinasiyaning ko’rinishiga qarab, A matrisaning xos ko’phadini yozish mumkin. tenglamani yechib matrisaning barcha xos sonlarini topamiz. Agar bo’lsa, qurilgan chiziqli kombinasiya
(11.17)
ko’rinishga ega bo’dadi. Endi larni hisobga olib (2.10) tenglikni

yoki

ko’rinishda yozib olamiz. Bu yerda
.
Demak, izlanayotgan kombinasiyaning koeffisiyentlari vektorning minimal ko’phadi ning koeffisiyentlaridir. Bunday ko’phad vektorlar chiziqli erk-li bo’lganligi uchun yagonadir.
Shunday qilib, bo’lganda biz ning bo’luvchisini topamiz va tenglamani yechib, matrisaning bir qism xos sonlarini topamiz. Dastlabki vektorni boshqacha tanlab, qolgan xos sonlarni ham topish mumkin. Shu bilan birga yangi tanlangan vektor oldin aniqlangan vektorlarning chiziqli kombinasiyasi bo’lmasligi kerak.
Matrisaning xos vektorlarini topish. Endi xos vektorlarni topish masalasiga o’tamiz. Faraz qilaylik,

minimal ko’phadning ildizi bo’lsin (keyingi mulohazalar va hollar uchun bir xil). A matrisaning xoc soniga mos keladigan xoc vektorini oldingi punktda topilgan vektorlarning chiziqli kombinasiyasi shaklida izlaymiz:
. (11.18)
Bu tenglikni A ga ko’paytirib va ham tengliklarni hisobga olib,
(11.19)
ga ega bo’lamiz. Bundan tashqari, yana

ni hisobga olsak, u holda (11.19) ni

yoki

ko’rinishda yozib olishimiz mumkin. Bundan vektorlarning chiziqli erkliligini hisobga olsak,

tengliklar kelib chiqadi. Oxirgi tenglikdan boshlab, ketma-ket larni topamiz:

Oxirgi tenglik barcha lar uchun o’rinlidir, chunki
.
Bu tenglikdan hisoblashni kontrol qilish uchun foydalanish mumkin. Hisoblashni soddalashtirish maqsadida deb olishimiz mumkin. Unda qolganlari quyidagicha topiladi:
(11.20)
Bularny hisoblashda Gorner sxemasidan foydalanish ma’quldir. Agar berilgan xos songa A matrisaning bir necha xos vekto ri mos kelsa, u holda ularni izlash uchun boshqa dastlabki vektorni tanlab olib, shu hisoblash jarayonini takrorlash mumkin.


Mustaqil ishlash uchun savollar

1. 
   Matrisaning xos qiymat va xos vektorlari.
   
2. 
   Xos sonlarning qismiy va to’liq muammosi.
   
3. 
   Aniq yoki to’g’ri metodlar va iterasion usullar.