6-ma’ruza. Mavzu: Tekislikdagi to’g’ri chiziq tenglamalari. Reja

7.9.Uch tekislikning kesishish nuqtasi. 

      Berilgan 

uchta 

А

1

х+В

1

у+С

1

z+D

1

=0, 

А

2

х+В

2

у+С

2

z+D

2

=0 

va 

А

3

х+В

3

у+С

3

z+D

3

=0 tekisliklarning kesishish nuqtasi. 



































0.

D

z

C

y

0,

D

z

C

y

0,

D

z

C

y

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

B

x

A

B

x

A

B

x

A

 

sistemani yechib topiladi. Sistemaning asosiy determinanti 

63

 

 

0

3

3

3

2

2

2

1

1

1







С

В

А

С

В

А

С

В

А

 

bo’lganda  sistema  yagona  yechimga  ega  bo’ladi  va  berilgan  uchta  tekislik  bir 

nuqtada kesishadi. Δ=0 bo’lganda tekisliklar bir nuqtada kesismaydi.  

9–misol.  2х-у+3z+2=0,  х+2y-z-9=0  va  3х+у-2z-11=0  tekisliklarning 

kesishishi nuqtasi topilsin.  

Yechish.  































11

2

3

9

2

2

3

2

z

y

x

z

y

x

z

у

х

 

sistemani yechib tekisliklarning kesishish nuqtasining koordinatalari x=2, y=3, z=-1 

larni topamiz. Demak tekisliklar M(2;3;-1) nuqtada kesishar ekan.  

7.10.Nuqtadan tekislikgacha masofa. 

Nuqtadan tekislikgacha masofa deganda shu nuqtadan tekislikka 

tushirilgan perpendikulyarning uzunligi nazarda tutiladi.  

Berilgan  М

1

(х

1

;у

1

;z

1

)  nuqtadan  Ах+Ву+Сz+D=0  tenglamasi  yordamida 

berilgan Q tekislikgacha d masofa 

2

2

2

1

1

1

C

B

A

D

Cz

By

Ax

d













 

 

(12.17) 

formula yordamida topiladi. Bu formulani keltirib chiqarish tekislikda 

nuqtadan to’g’ri chiziqgacha masofani topish formulasini keltirib chiqarishga 

o’xshaganligi uchun uni isbotlashni o’quvchiga qoldiramiz.  

10–misol. А(2;3;-1) nuqtadan 7х-6у-6z+42=0 tekislikgacha masofa topilsin.  

Yechish.  (12.17)  formulaga  А=7,  В=-6,  С=-6,  D=42,  х

1

=2,  у

1

=3,  z

1

=-1 

qiymatlarni qo’ysak izlanaetgan masofa  

4

11

44

121

42

6

18

14

)

6

(

)

6

(

7

42

)

1

(

)

6

(

3

)

6

(

2

7

2

2

2









































d

 

kelib chiqadi.  

7.11. Fazoda to’g’ri chiziq tenglamalari 

To’g’ri chiziqning kanonik tenglamalari. 

Охуz fazoni va unda berilgan  L to’g’ri chiziqni qaraymiz. 

1-ta‘rif.  To’g’ri  chiziqqa  parallel  vektor  shu  to’g’ri  chiziqning 

yo’naltiruvchi  vektori    deb  ataladi.      Yo’naltiruvchi  vektorning  koordinata 

o’qlaridagi  proeksiyalari  to’g’ri  chiziqning  yo’naltiruvchi  koeffitsientlari 

deyiladi.  To’g’ri  chiziqning  bitta  М

1

(x

1

;y

1

;z

1

)  nuqtasi  hamda  yo’naltiruvchi 

k

p

j

n

i

m

S







  vektori  ma‘lum  bo’lganda  uning  tenglamasini  keltirib 

chiqaramiz. M(x, y,z) to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin.  

64

 

 

 

65–chizma 

U holda 

k

z

z

j

y

y

i

x

x

M

M

)

(

)

(

)

(

1

1

1

1













 va 

S

 vektorlar parallel bo’ladi.                

(65–chizma).  Parallel  vektorlarni  mos  koordinatlari  proporsional  bo’lganligi 

sababli 

p

z

z

n

y

y

m

x

x

1

1

1











    (13.1) 

tenglamaga  ega  bo’lamiz.  Demak,  berilgan  L  to’g’ri  chiziqning  istalgan  M 

nuqtasining  koordinatlari  (13.1)  tenglamani  qanoatlantiradi.  L  to’g’ri  chiziqda 

yotmagan hech bir nuqtaning koordinatlari (13.1) tenglamani qanoatlantirmaydi. 

Chunki bu holda  

M

M

1

 va 

S

 vektorlar parallel bo’lmagani uchun ularning mos 

koordinatlari proporsional bo’lmaydi. 

Shunday qilib (13.1) tenglama L to’g’ri chiziqning tenglamasi ekan.  

U  berilgan  nuqtadan  o’tuvchi  to’g’ri  chiziq  tenglamasi  yoki  to’g’ri 

chiziqning kanonik tenglamalari  deb ataladi. 

To’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari. 

(13.1) dagi nisbatlarni t orqali belgilaymiz. U holda 

t

m

x

x





1

 munosabatdan    

x-x

1

 = mt, x= x

1 

+mt kelib chiqadi. Shuningdek 

t

n

y

y





1

 dan y=y

1

+nt, 

t

p

z

z





1

 dan 

pt

z

z





1

 tengliklarni hosil qilamiz.          

Shunday qilib: 























pt

z

z

nt

y

y

mt

x

x

1

1

1

,

,

    (13.2) 

tengliklarga ega bo’ldik. (13.2) to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari deb 

ataladi.  Bu  yerda  t    parametr  deb  ataladi  va  istalgan  qiymatlarni  qabul  qiladi. 

Parametr  t  o’zgarganda  M(x,y,z)  nuqtaning  koordinatalari  ham  o’zgaradi  va  u 

to’g’ri chiziq bo’ylab siljiydi. 

Agar  to’g’ri  chiziq  parametrik  tenglamalari  yordamida  berilsa  ulardan  t 

parametrni  yo’qotib  to’g’ri  chiziqning  kanonik  tenglamalarini  hosil  qilish 

mumkin. 

65

 

 

Izoh. 

n

y

y

m

x

x

0

0







  va 















nt

y

y

mt

x

x

0

0

,

  tenglamalar  mos  ravishda  0xy 

tekislikdagi  





0

0

0

; y

x

M

 nuqtadan o’tuvchi va 

 

n

m

s

;





 yo’naltiruvchi vektorga ega 

to’g’ri chiziqning kanonik va parametrik tenglamalaridir. 

 

To’g’ri chiziqning umumiy tenglamalari. 

Ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi 























0

,

0

2

2

2

2

1

1

1

1

D

z

C

y

B

x

A

D

z

C

y

B

x

A

   (13.3) 

ni qaraymiz. Sistemaning har bir tenglamasi tekislikni ifodalaydi. Agar bu tekisliklar 

parallel bo’lmasa ular qandaydir L to’g’ri chiziq bo’ylab kesishadi. Shuning uchun 

(13.3) tenglamalar sistemasi to’g’ri chiziqning umumiy tenglamalari deb ataladi. 

          Endi  to’g’ri  chiziqning  kanonik  tenglamalariga  ko’ra  uning  umumiy 

tenglamalarini topish usuli bilan tanishamiz. (13.1) tenglama 

























p

z

z

n

y

y

n

y

y

m

x

x

1

1

1

1

,

 (13.1



)   yoki   



















)

(

)

(

),

(

)

(

1

1

1

1

z

z

n

y

y

p

y

y

m

x

x

n

  (13.1



) 

ko’rinishdagi ikkita chiziqli tenglamalar sistemasiga teng kuchli, chunki (13.1) dagi 

uchinchi 

p

z

z

m

x

x

1

1







 tenglik (13.1

'

) dan kelib chiqadi. 

Shuningdek (13.1) tenglama 

























p

z

z

m

x

x

n

y

y

m

x

x

1

1

1

1

,

      va    

























p

z

z

n

y

y

p

z

z

m

x

x

1

1

1

1

,

 

sistemalarning har biriga teng kuchli bo’ladi. (13.1



) sistemaning birinchi tenglamasi 





m

x

x

1

 

n

y

y

1



 da z ishtirok etmaydi. Demak  u 0z o’qqa parallel tekislik tenglamasi. 

Shuningdek  (13.1



)  sistemaning  ikkinchi  tenglamasi 

p

z

z

n

y

y

1

1







  da  х  ishtirok 

etmaganligi uchun u 0x o’qqa parallel tekislik tenglamasini ifodalaydi. Bu tekisliklar 

kesishishi  natijasida  kesimda  to’g’ri  chiziq  hosil  bo’ladi.  (13.1



)  yoki  (13.1



) 

tenglamalar sistemasi ana shu to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasini ifodalaydi. 

Ya‘ni (13.1



) yoki (13



) tenglamalar sistemasi to’g’ri chiziqni ikkita tekisliklarning 

kesishish chizigi sifatida aniqlaydi. 

Endi to’g’ri chiziq koordinata o’qlaridan biriga perpendikulyar bo’lgan holni 

qaraymiz. Faraz qilaylik to’g’ri chiziq 0x o’qqа perpendikulyar bo’lsin. U holda shu 

to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori 





p

n

m

S

,

,



 ham 0x o’qqа perpendikulyar 

bo’lib m=0 bo’ladi. Bu holda (13.1



) tenglamalar sistemasi: 

66

 

 

















1

1

1

0

nz

nz

py

py

x

x

     yoki     

















.

0

1

1

1

nz

py

nz

py

x

x

 

sistemasiga  aylanadi.  Bular  0х  o’qqа  perpendikulyar  to’g’ri  chiziqning  umumiy 

tenglamalari.  Bu  holda  ham  umumiylikni  buzmaslik  uchun  to’g’ri  chiziq 

tenglamasini kanonik ko’rinishda 

p

z

z

n

y

y

x

x

1

1

1

0











 

kabi  yozish  mumkin.  Shunday  qilib  to’g’ri  chiziqning  kanonik  tenglamasidagi 

kasrlardan qaysi birining maxraji nol bo’lsa uning suratini ham nolga tenglashtirib 

chiziqli tenglamalar sistemasi hosil qilinar ekan. 

 Masalan, 

p

z

z

n

y

y

x

x

1

1

1

0











 tenglama M

1

(x

1

;y

1

;z

1

) nuqtadan o’tuvchi va 0x 

o’qqa perpendikulyar to’g’ri chiziq tenglamasi, 

p

z

z

y

y

x

x

1

1

1

0

0











 esa M

1 

(x

1

;

 

y

1

; 

z

1

) nuqtadan o’tuvchi va  0z o’qqa parallel to’g’ri chiziq tenglamasi. 

 Endi to’g’ri chiziqni chizish usuli bilan tanishamiz. 

 Faraz qilaylik to’g’ri chiziq umumiy tenglamalari yordamida berilgan bo’lib, 

uni chizish talab etilsin. Ma‘lumki to’g’ri chiziqni chizish uchun unga tegishli ikkita 

nuqtalarini  bilish  kifoya.  Bu  nuqtalarni  koordinatlarini  (13.3)  sistemani  yechish 

orqali topish mumkin. ((13.3) sistemani yechish usuli bilan tanishmiz.). 

 Endi  to’g’ri  chiziqning  umumiy    tenglamalari  (13.3)  dan  kanonik 

tenglamalariga o’tish usuli bilan tanishamiz. 

 To’g’ri  chiziqning  kanonik  tenglamalarini  yozish  uchun  uning  bitta 

M

1

(x

1

;y

1

;z

1

) nuqtasini  hamda yo’naltiruvchi vektorini bilishimiz lozim.                 М

1 

nuqtaning  koordinatalarini  (13.3)  sistemadagi  koordinatalardan  biriga  ixtiyoriy 

qiymat berib sistemani yechish orqali topish mumkin. 

 To’g’ri  chiziqning  yo’naltiruvchi  vektori  sifatida  tekisliklarning  normal 

vektorlari 





1

1

:

1

1

;

;

C

B

A

N



  va 





2

2

2

2

;

;

C

B

A

N



  vektorlarning  vektor  ko’paytmasi 

2

1

N

x

N

S



 ni olishimiz mumkin (66–chizma). 

 

66–chizma 

1-misol.   To’g’ri chiziqning 

67

 

 























0

9

,

0

8

2

3

2

z

y

x

z

y

x

 

umumiy tenglamasi kanonik ko’rinishga keltirilsin. 

 

Yechish.  To’g’ri chiziqning aniq M

1

(x

1

;y

1

;z

1

) nuqtasini topish uchun uning 

umumiy tenglamasiga z=1 qiymatni qo’ysak 



















.

0

10

,

0

10

3

2

y

x

y

x

 

sistema hosil bo’ladi. Sistemaning ikkinchi tenglamasini 3 ga ko’paytirib birinchi 

tenglamasiga hadlab qo’shamiz. U holda 5x-20=0; 5x=20 bo’lib bundan x=4 kelib 

chiqadi.  Oxirgi  sistemaning  ikkinchi  tenglamasidan      у=х-10  ga  ega  bo’lamiz. 

Bunga х=4 qiymatni qo’ysak     у = 4-10 = -6    hosil bo’ladi. 

Demak  М

1

(4;  -6;  1)  to’g’ri  chiziqqa  tegishli  nuqta  ekan.  Endi    to’g’ri 

chiziqning 

2

1

N

N

S





 yo’naltiruvchi vektorini aniqlaymiz. 

  Misolda 

,

2

3

2

1

k

j

i

N







  

k

j

i

N







1

, bo’lgani uchun  

1

1

1

2

3

2

2

1











k

j

i

N

N

S

      

bo’ladi. Bu determinatni birinchi satr elementlari bo’yicha yoyib hisoblaymiz. 

k

j

i

S

1

1

3

2

1

1

2

2

1

1

2

3















 

yoki  ikkinchi tartibli determinantlarni hisoblasak 

k

j

i

S

5

4









 

kelib chiqadi. Demak    m= -1, n=4, p= -5, x

1

=4, y

1

= -6, z=1. 

Topilgan  qiymatlarni  to’g’ri  chiziqning  kanonik  tenglamalari  (13.1)  ga 

qo’ysan. 

5

1

4

6

1

4















z

y

x

 

tenglamalarga ega bo’lamiz. Bu berilgan to’g’ri chiziqning kanonik tenglamalaridir. 

 

Ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi. 

   M

1

(x

1

;y

1

;z

1

) va M

2

(x

2

;y

2

;z

2

)  nuqtalar berilgan bo’lib ulardan o’tuvchi to’g’ri 

chiziqning  kanonik  tenglamalarni  topish  talab  etilsin.  Bu  holda  to’g’ri  chiziqda 

yotuvchi 

k

z

z

j

y

y

i

x

x

M

M

)

(

)

(

)

(

1

2

1

2

1

2

2

1













 vektorni uning yo’naltiruvchi vektori 

deb  olishimiz  mumkin.  Demak 

1

2

1

2

1

2

,

,

z

z

p

y

y

n

x

x

m













  bo’lib  (13.1) 

tenglama. 

1

2

1

1

2

1

1

2

1

z

z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x

















   (13.4) 

ko’rinishni  oladi.  (13.4)  tenglama  ikki  nuqtadan  o’tuvchi  to’g’ri  chiziq