6-Mavzu. Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish usullari

3-teorema. Aytaylik kvadratik formaning bazisdagi matritsasi bo‘lsin. Agar A matritsaning bosh minorlari noldan farqli bo‘lsa, u holda shunday bazis mavjudki, bu bazisda forma kanonik ko‘rinishga kelib, uning kanonik ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:

bunda lar x vektorning bazisdagi koordinatalari.
Isbot. Teorema shartiga asosan kvadratik forma bazisda ko‘rinishiga ega, bu yerda . Bizning maqsadimiz vektorlarni shartni qanoatlantiradigan qilib tanlashdan iborat. Bu bazislarni
(4)
ko‘rinishida izlaymiz
koeffitsientlarni bazis elemenlari o‘rniga ularning (4) tenglikdagi ifodalarini shartlarga qo‘yish yo‘li bilan ham topish mumkin. Ammo bu usul hisoblash uchun noqulay bo‘lib, bunda koeffitsientlarga nisbatan 2-darajali tenglamalar sistemasini yechishga to‘g’ri keladi. Shuning uchun hisoblashni birmuncha yengillashtiradigan boshqa yo‘lni tanlaymiz.
Ta’kidlash joizki, , tengliklardan tenglik kelib chiqdi. Haqiqatdan ham, agar o‘rniga ifodani qo‘ysak,
bo‘ladi.
Demak , ixtiyoriy k va i munosabatdagi koeffitsientlarni
, (5)
shartlarni qanoatlantiradigan qilib tanlash masalasiga keltirildi.
Agar vektor yuqoridagi shartlar bilan bir qatorda quyidagi
(6)
shartlarni qanoatlantiradigan qilib izlansa, u holda u bir qiymatli aniqlanadi .
(5) va (6) shartlarga ning ifodasini qo‘yib, koeffitsientlarga nisbatan birinchi darajali quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
(7)
Bu tenglamalar sistemasi matritsasining determinant :

ko‘rinishda bo‘lib, bu determinantning qiymati noldan farqli. Shuning uchun (7) sistema yagona yechimga ega. Demak yuqoridagi tenglikni qanoatlantiruvchi koeffitsientlari mavjud va yagonadir. Bundan esa, vektorning yagona ravishda aniqlanishi kelib chiqadi. Endi A(x,x) kvadratik formaning bazisdagi koeffitsientlarni topamiz.
Ma’lumki, bo‘lib, bu bazisning qurilishiga ko‘ra, ya’ni . Demak koeffitsientlarini aniqlash kifoya (5) va (6) shartlarning bajarilishidan foydalanib, ya’ni ekanligini hosil qilamiz. Bu esa koeffitsientlarni aniqlash uchun (7) tenglamalr sistemasidan faqat noma’lumni aniqlash kifoya ekanligini bildiradi.
Chiziqli tenglamalar yechishning Kramer qoidasidan foydalanamiz. Tenglamalar sistemasining asosiy determinanti ekanligini yuqorida ko‘rsatdik, noma’lumga mos keluvchi determinant esa,
=



bo‘ladi. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, ekanligiga ega bo‘lamiz.
Kvadratik formani kvadratlar yig‘indisiga keltirishning yuqorida keltirib o’tilgan usuli Yakobi usuli deb ataladi.
Ta’kidlash joizki, yuqoridagi teoremani isbot qilish jarayonida bazisning aniq ko‘rinishi mavjudligi ko‘rsatildi. Lekin bundan kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltiruvchi bazis yagona degan hulosa chiqarish noto‘g’ri. Ya’ni, boshqa bir bazisda ham kvadratik forma kanonik ko‘rinishga kelishi mumkin. Masalan, boshlang’ich bazislarni o‘zgartirsak, ularga mos ravishda bazislar ham o‘zgaradi. Bundan tashqari 2-teoremani isbot qilish jarayonida berilgan kvadratik formani kanonik ko‘rinishi:

bo‘lishini aniqladik. Bu bilan kvadratik formani kanonik ko‘rinishining musbat va manfiy koeffitsientlarini topish imkoni kelib chiqadi. Masalan, agar va larning ishorasi bir xil bo‘lsa, u holda ifoda musbat koeffitsientga, aks holda esa manfiy koeffitsientga ega bo‘ladi. Bu esa kvadratlar oldidagi manfiy koeffitsientlarning soni qatordagi ishora almashishlar soniga teng ekanligini anglatadi. Xususiy holda bo‘lsa, u holda kvadratik formaning kanonik ko‘rinishi

kabi bo‘lib, bo‘ladi. Bu esa x ning har qanday qiymatida ekanligini, shu bilan birga, faqatgina bo‘lgandagina bo‘lishini bildiradi.
4