6-Mavzu. Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish usullari

1–misol. Bizga uch o‘lchovli fazodagi biror bazisda
kvadratik forma berilgan bo‘lsin. almashtirishni bajarsak, u holda
So‘ngra , , almashtirish qilib, kvadratik forma uchun yangi ifoda hosil qilamiz :

Shunday qilib almashtish kvadratik formani kanonik shaklga keltiradi.
Ta’kidlash joizki, kvadratik formani Lagranj usuli bilan kanonik ko‘rinishga keltirishda qo‘llaniladigan koordinatalar orqali o‘z navbatida koordinatalar esa, va shu tarzda oxirgi koordinatalar o‘zidan oldingi koordinatalar orqali ifodalanadi. Bundan foydalanib, koordinatalar dastlabki koordinatalar orqali ifodalash mumkin:




………………………….

Koordinatalarni almashtirish matritsasi bazis almashtirish matritsasi teskarisining transponirlanganiga teng bo‘lishini hisobga olib, yangi bazis vektorlarni eski bazis vektorlari orqali ifodalashimiz mumkin, ya’ni


……………………………
Agar kvadratik formani kanonik shaklga keltirish jarayonida ikki koordinatani birdaniga o‘zgartiradigan almashtirishni bajarishga to‘g’ri kelmasa, u holda almashtirish formulalarining ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:


……………………..

Ya’ni almashtirish matritsasi uchburchak ko‘rinishiga keladi. U holda bazisni almashtirish matsitsasi ham


…………………………….

ko‘rinishda bo‘ladi.
Endi kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirishning yana bir usulini keltiramiz. Avvalgi usuldan farqli ravishda bu usul izlanayotgan bazisni to‘g’ridan to‘g’ri boshlang’ich bazis orqali ifodasini beradi.
Aytaylik,

matritsa kvadratik formaning bazisdagi matritsasi bo‘lsin. Ushbu matritsaning quyidagi bosh minorlarini qaraymiz: