6-mavzu: To‘la metrik fazolar. To‘ldiruvchi fazo reja fundamental ketma-ketliklar. To‘la metrik fazoning ta’rifi, misollar

6-mavzu: To‘la metrik fazolar. To‘ldiruvchi fazo
REJA
1. Fundamental ketma-ketliklar.
2. To‘la metrik fazoning ta’rifi, misollar.
3. To‘ldiruvchi fazo
4. Ichma-ich joylashgan yopiq sharlar ketma-ketligi
5. Chegaralangan to‘plam.
6. Qisqartirib akslantirish prinsipi va uning tatbiqlari.
Matematik analiz kursidan ma’lumki, ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun u Koshi shartini qanoatlantirishi zarur va yetarli. Bu xossa matematikada katta ahamiyatga ega bo‘lib, haqiqiy sonlar to‘plamining to‘laligini ko‘rsatadi.
Haqiqiy sonlar to‘plamining bu xossasi har qanday metrik fazo uchun o‘rinlimi? - degan savol tug‘iladi. Bu savolga javob berish uchun quyidagi ta’rifni kiritamiz.
1-ta’rif. Agar (X,p) metrik fazodan olingan {x_n} ketma-ketlik Koshi shartini qanoatlantirsa, ya’ni ixtiyoriy >0 uchun shunday n( ) nomer mavjud bo‘lib, p(x_n,x_m)< tengsizlik barcha n, m>n( ) uchun bajarilsa, u holda {x_n} fundamental ketma-ketlik deyiladi.
1-teorema.Har qanday fundamental ketma-ketlik chegaralangan bo‘ladi.
Isboti. Ta’rifga ko‘ra =1 uchun n( ) nomer mavjud bo‘lib, p(x_n,x_m)<1 tengsizlik barcha n, m>n( ) qiymatlar uchun bajariladi. Xususan, k>n( ) va n>k uchun ham p(x_n, )<1 tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Endi k ni tayinlab olamiz, u holda markazi nuqtada radiusi
r=max(p( , (1)
bo‘lgan shar {x_n} ketma-ketlikning barcha hadlarini o‘z ichiga oladi, ya’ni {x_n} ketma-ketlik chegaralangan bo‘ladi. Teorema isbot bo‘ldi.