6-mavzu: yechimlar xossalari. Klassik yechimlar. Umumlashgan yechimlar. Kichik amplitudali uzilishlar. Reja

Riman to‘lqinlari. (1) chiziqsiz sistemalarning xususiyatlarini qarab chiqishga o‘tamiz. Riman to‘lqini yoki sodda to‘lqinlar deb nomlangan (1), (2) Koshi masalasining muhim maxsus yechimlar sinfini qarab chiqamiz. Oxirgi tushuncha ancha umumiy hisoblanadi chunki u Prandtlya-Mayer to‘lqinlari va magnitli gidrodinamikada analogik to‘lqinlar va elastiklik nazariyasi kabi gaz dinamikasi tenglamalar sistemasining shunday statsionar ikki o‘lchovli yechimini o‘z ichiga oladi.
Shunday to‘lqinlarda vektor o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lmagan aniqlangan kombinatsiyalarga bog‘liq bo‘ladi ya’ni . Shunda (1) dan quyidagiga ega bo‘lamiz:
, (13)
bu yerda
. (14)
Ahamiyatsiz bo‘lmagan yechimlarni topish uchun quyidagini talab qilish kerak:
(15)
ya’ni shu tarzda (1) sistemaning xarakteristik tezliklarining birida to‘g‘ri keladigan matritsaning xususiy qiymatlari bo‘lishi kerak. Bundan so‘ng hosila matritsaning xususiy vektorlariga parallel mos kelishi tushunarli bo‘ladi:
. (16)
(16) tenglama ularning har bir nuqtasi matritsaning o‘ng xususiy vektorlariga tegishli bo‘lgan integral egri chiziqlar oilasini aniqlaydi. Sodda to‘lqinlar ko‘rinishidagi yechimlar soni chiziqli bog‘liqmas xususiy vektorlar soniga teng. Sistema giperbolik bo‘lganligi sababli, bu son ga teng.
Xarakteristik tenglamaning oddiy ildiziga muvofiq keluvchi Riman to‘lqinlaridan birini qarab chiqamiz. Integral egri chiziqdagi vektor yagona parametrning funksiyasi hisoblanadi. Ushbu parametr bizning qarashimiz bo‘yicha ixtiyoriy tanlanishi mumkin. Bu fazoda boshlang‘ich qiymatlardan o‘lchanadigan yoyning uzunligi ya’ni vektorning komponentalari yoki xarakteristik tezliklardan biri bo‘lishi mumkin. Yagona talab shundan iboratki, tanlangan parametr qaralayotgan integral egri chiziq segmentida monoton bo‘lishi kerak. parametr tanlangandan keyin uning qiymatini (14) yordamida aniqlash mumkin:
. (17)
Bu yerda vektorning skalyar funksiyasi uning komponentasi funksiyasi sifatda qaralayapti.
Boshqa tomondan esa, (17) tenglamaning

xarateristikalari, tanlangan (1) sistemaning xarakteristik oilalari bilan ustma-ust keladi. (17) sistemaning har bir xarakteristik chiziqlari bo‘ylab bajariladi, ya’ni va so‘ngra vektorning barcha komponentalari va ning o‘zi ham konstanta hisoblanadi. Bu shuni anglatadiki, xarakteristikaning tekisligida to‘g‘ri chiziqlar bilan ifodalanadi va ularning qiyaligini da ham aniqlash mumkin. Xarakteristikalarning qolgan oilalari umumiy holatda egri chiziqli hisoblanadi.
Agar yechim Riman to‘lqinlari shakliga ega bo‘lishini talab qilsak, uchun boshlang‘ich shartlar ham dan ba’zi funksiyalar ko‘rinishida ifodalanishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, ular faqatgina bitta ixtiyoriy funksiyadan iborat bo‘lishi kerak. Bundan tashqari, yechim ta konstantalardan iborat, ular (13) integral egri chizig‘ini belgilash uchun zarur. Yuqorida ko‘rsatilgani kabi, Riman to‘lqinlari ko‘rinishidagi yechim faqatgina tekislikning xarakteristikalar kesishmaydigan qismida tuzilishi mumkin.
Oldingi muhokamalar ko‘rsatadiki, oddiy to‘lqinlar (9) tenglama bilan ifodalanadigan kichik toyilish to‘lqinlarini umumlashtiradi. Haqiqatan ham, Riman to‘lqinining har bir elementi kichik toyilishning tarqalishi holati kabi sistema koeffitsiyentlari matritsasining o‘ng xususiy vektorlariga proporsional o‘zgaradi. Ularning tarqalish tezligi ham mos keladi. Shuning uchun oddiy to‘lqin kichik toyilishlar ketma-ketligi sifatida tasvirlanishi mumkin, ularning har bir avvalgi toyilishning izidan harakatlanadi. Riman to‘lqini profili (yon ko‘rinishi) integral egri chiziq bo‘ylab xarakteristik tezlikning o‘zgarishi xarakteriga bog‘liq holda deformatsiyalanishi (shaklini o‘zgartirishi) mumkin.
Agar integral egri chiziqda bo‘lsa, u holda xarakteristikalar tekislikda to‘g‘ri chiziqlar hisoblanadi va hech qachon kesishmaydi. Ushbu holatda Riman to‘lqini yuguruvchi to‘lqin hisoblanadi, unda
, .
Agar xususiy qiymat o‘zgarmas bo‘lmasa, xarakteristik tezlikning monotonlik intervalida uni parametr sifatida tanlash mumkin. Shu tarzda boshlang‘ich shart bilan quyidagi tenglama kelib chiqadi:
.
Boshlang‘ich profil 1a-rasmda tasvirlanganidek funksiya ko‘rinishida berilsin. To‘g‘ri chiziqlarning xarakteristik holati 1b-rasmda sifatli keltirilgan. Yuqorida ko‘rsatilgani kabi (3) skalyar tenglama uchun yechim bilan intervalda yagona shaklda aniqlanishi mumkin. Bunda profilning avvalgi qismi keyingilariga qaraganda tezroq harakatlanadi. Boshqa tomondan esa bilan intervalda funksiyaning maksimumga yaqin bo‘lgan elementlari avvalgilariga qaraganda tezroq harakatlanadi va erta yoki kech ularga yetib oladi. Ushbu jarayon to‘lqinning keskinlashishi sifatida taniqli. U oxirida uning to‘ntarilishiga keltiradi (1c-d-e rasmga qarang). Mexanikadagi kabi yaxlit muhitning yagona bo‘lmagan yechimi ko‘pincha fizik ma’noga ega bo‘lmaydi, nazarda tutilganidek, xarakteristikalarning kesishish momentida klassik yechimning mavjud bo‘lishi to‘xtaydi va uzilish kelib chiqadi.
Riman to‘lqini shaklidagi yechimga ega bo‘lgan yechim sinflari mavjud bo‘ladi, unda xarakteristik tezlik o‘zgarmas bo‘ladi. Bu o‘rinli bo‘ladi, agar to‘lqinning har bir integral egri chizig‘i bo‘ylab o‘zgarmas bo‘lsa. Ushbu holatda Riman to‘lqini yuguruvchi to‘lqin hisoblanadi, ya’ni , .

1-rasm. Silliq profilning to‘ntarilishi.
O‘zining shaklini o‘zgartirmasdan tarqaladigan bunday to‘lqinlar deformatsiyalanmaydigan (shaklini o‘zgartirmaydigan) to‘lqinlar deb nomlanadi. Agar funksiya boshlang‘ich vaqt momentida uzilishga ega bo‘lsa, u barcha keyingi lar uchun shundayligicha qoladi. Ushbu turdagi har bir uzilish kattalikning teskari o‘zgarishidagi analogga ega bo‘ladi. Riman to‘lqinlari deb hisoblangan uzilishlarni qaytariluvchi deb nomlaymiz. Qaytariluvchi uzilishlarga misol sifatida gazdagi tangensial (egri chiziqqa urinma chiziq bo‘yicha yo‘nalgan) uzilishlar va magnitli gidrodinamikada aylanma uzilishlarni keltirish mumkin.
Riman to‘lqinlarining en muhim xususiy hollaridan birini belgilab o‘tamiz, aynan Rimanning avtomodel to‘lqinlari. Ushbu to‘lqinlar uchun da boshlang‘ich shart bo‘lib, nuqtada uzilish bilan bo‘lakli-o‘zgarmas funksiya hisoblanadi, unda boshlang‘ich koordinatalarda deb qabul qilinadi. Agar bo‘lsa, qaralayotgan to‘lqinga muvofiq keluvchi koordinatalarning boshlanishidan to‘g‘ri chiziqli xarakteristikalardan yarim doira chiqadi. kattaliklar xarakteristika bo‘ylab o‘zgarmas bo‘lganligi sababli parametr sifatida xarakteristik tezlikning o‘zi tanlanishi mumkin.
Ushbu mavzuda ifodalangan klassik yechimlarning xususiyatlari shuni ko‘rsatadiki, giperbolik tenglamalarning kvazichiziqli sistemasi uchun yechimning aniqlanish sohasi faqatgina uning o‘zi bilan bir vaqtda topilishi mumkin. Bundan tashqari, klassik yechim va uning hosilalari cheklangan holatda qolmaydi.