6-mavzu: yechimlar xossalari. Klassik yechimlar. Umumlashgan yechimlar. Kichik amplitudali uzilishlar. Reja

6-MAVZU: YECHIMLAR XOSSALARI. KLASSIK YECHIMLAR. UMUMLASHGAN YECHIMLAR. KICHIK AMPLITUDALI UZILISHLAR.
REJA:

1. 
   Klassik yechim
   
2. 
   Silliq yechimlarning mavjudligi
   
3. 
   Riman to‘lqinlari
   
4. 
   Uzilishlardagi munosabatlar
   

Klassik yechim. Faraz qilamizki, soddalik uchun, sistema bir jinsli va oqim vektori faqatgina noma’lum vektorning o‘ziga bog‘liq, ammo noma’lum o‘zgaruvchilarga oshkor tarzda bog‘liq emas:
(1)
Sistemaning bunday shakli ko‘pincha mexanik tatbiqlarda uchraydi.
(1) sistema uchun Koshi masalasini quyidagiga tayangan holda qarab chiqamiz:
(2)
vektor-funksiya (1), (2) Koshi masalasining klassik yechimi deb nomlanadi, agar ushbu tenglamalarni nuqtalar bo‘yicha qanoatlantiruvchi uzluksiz-differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsa.
Silliq yechimlarning mavjudligi. Avvalo giperbolik tenglamalar sistemasi umumlashgan yechimlarining aniqlanishi berilishidan oldin, klassik yechimning ba’zida faqatgina funksiyada beriladigan boshlang‘ich berilganlarning silliqligi uchun ham vaqtni so‘nggi oralig‘idagi chegarada mavjudligini ko‘rsatamiz. Ushbu maqsad uchun bir o‘lchovli skalyar tenglamaning sodda holatini qarab chiqamiz:
(3)
uning boshlang‘ich sharti
(4)
Belgilab o‘tamizki, (3) tenglama kvazichiziqli ko‘rinishda ham yozilishi mumkin:
(5)
agar unga ni qo‘ysak. So‘ngra tekislikda nuqtadan o‘tuvchi xarakteristik chiziq quyidagi formula bilan beriladi:
. (6)
(5) tenglamadan ko‘rinib turibdiki, xarakteristik chiziq bo‘ylab quyidagicha bo‘ladi:
.
Bu xarakteristik usullardan foydalangan holda silliq yechimni topishga imkon beradi. Shu bilan birga quyidacha bo‘lishini faraz qilamiz:
,
bu yerdagi xarakteristik chiziqni beruvchi ni (6) formuladan topish kerak bo‘ladi.
matritsa ga bog‘liq bo‘lmaganida chiziqli sistemalar uchun xarakteristik chiziqlar hech qachon kesishmaydigan to‘g‘ri chiziq hisoblanadi. Bu shuni anglatadiki, yarim tekislikda aniq yechimni topish mumkin. Bu yechim yuguruvchi to‘lqinlar ko‘rinishiga ega bo‘ladi:
. (7)
Buning teskarisida, agar va ba’zi uchun quyidagi bajarilsa:
,
u holda va nuqtalardan chiquvchi xarakteristikalar muqarrar kesishadi. Klassik yechim kesishish nuqtasidan tashqarida odatda ma’noga ega bo‘lmaydi va uzilishga ega bo‘lishi lozim. Bu xususiyat, shu tarzda, xarakteristikalar usulini qo‘llash chegaralarini beradi.
Shu o‘rinda bir fikrni aytish muhim. So‘ngra asosan faqat chiziqsiz tenglamalar qarab chiqilsada, ba’zi sonli usullarda yechimni vaqtning kichik intervalida ilgari surish uchun chiziqlashtirilgan tenglamalardan foydalaniladi. Agar sistemani ba’zi o‘zgarmas qiymatning kichik atrofida chiziqlashtirsak:
, (8)
ya’ni ni qo‘ysak, u holda funksiya quyidagi chiziqli sistemani ikkinchi tartibli aniqlik bilan qanoatlantirishi kerak:
. (9)
matritsaning koeffitsiyentlari xarakteristik tezligi va xususiy vektorlari ushbu holatda o‘zgarmas bo‘ladi. ni diagonallash mumkin bo‘lsa, ya’ni bo‘lsa, (9) sistemani ga ko‘paytirish orqali va Riman o‘zgaruvchilarini kiritish orqali quyidagiga ega bo‘lamiz:
, (10)
bu yerda .
Shunday qilib, sistema alohida tenglamalarga bo‘linadi uning yechimlari o‘zi bilan yuguruvchi to‘lqinlarni ifodalaydi:
, . (11)
Ushbu holatda funksiya matritsani keltirib chiqaruvchi (9) sistemaning o‘zgarmas koeffitsiyentli Riman invariantlari deb nomlanadi. (11) yuguruvchi to‘lqinlar o‘zining shaklini saqlagan holda o‘zgarmas tezliklari bilan tarqaladi.
(9) sistemaning umumiy yechimi mos xarakteristik tezliklar bilan tarqaluvchi yuguruvchi to‘lqinlarning -chi yig‘indisidan iborat:
. (12)
Agar xususiy vektorlar bo‘ladigan qilib normallashtirilgan bo‘lsa, kattaliklarni chiziqli to‘lqinlarga muvofiq keluvchi amplituda sifatida qarab chiqish mumkin.