60-odd years of moscow mathematical

S ≤
(a + c)(b + d)
4
.
16.2.8.2. Somebody wrote 1953 digits on a circle. The 1953-digit number obtained by reading these
figures clockwise, beginning at a certain point, is divisible by 27. Prove that if one begins reading the figures
at any other place, one gets another 1953-digit number also divisible by 27.
16.2.8.3. On a circle, distinct points A
1
, . . . , A
n
are chosen. Consider all possible convex polygons
all of whose vertices are among A
1
, . . . , A
n
. These polygons are divided into 2 groups, the first group
comprising all polygons with A
1
as a vertex, the second group comprising the remaining polygons. Which
group is more numerous?
16.2.8.4. On a plane, n gears are arranged so that the teeth of the first gear mesh with the teeth of the
second gear, the teeth of the second gear with those of the third gear, etc., and the teeth of the last gear
mesh with those of the first gear. (See Fig. 18.) Can the gears rotate?
Figure 18. (Probl. 16.2.8.4)
16.2.8.5. Let n = 100. Solve the system











x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
+ 2x
5
+ · · · + 2x
n
= 1,
x
1
+ 3x
2
+ 4x
3
+ 4x
4
+ 4x
5
+ · · · + 4x
n
= 2,
x
1
+ 3x
2
+ 5x
3
+ 6x
4
+ 6x
5
+ · · · + 6x
n
= 3,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
1
+ 3x
2
+ 5x
3
+ 7x
4
+ 9x
5
+ · · · + (2n − 1)x
n
= n.
Grade 9
16.2.9.1. See Problem 16.2.8.2.
16.2.9.2. Given triangle 4A
1
A
2
A
3
and a straight line l outside it. The angles between the lines A
1
A
2
and A
2
A
3
, A
1
A
2
and A
2
A
3
, A
2
A
3
and A
3
A
1
are equal to α
3
, α
1
and α
2
, respectively. The straight lines are
drawn through points A
1
, A
2
, A
3
forming with l angles of π − α
1
, π − α
2
, π − α
3
, respectively. All angles
are counted in the same direction from l. Prove that these new lines meet at one point.

---

44
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
16.2.9.3. Given the equations
ax
2
+ bx + c = 0
(1)
−ax
2
+ bx + c = 0
(2)
prove that if x
1
and x
2
are some roots of equations (1) and (2), respectively, then there is a root x
3
of the
equation
a
2
x
2
+ bx + c = 0 such that either x
1
≤ x
3
≤ x
2
or x
1