60-odd years of moscow mathematical

A
2
A
3
. . . A
n
in space and a plane intersecting all its segments,
A
1
A
2
at B
1
, A
2
A
3
at B
2
, . . . , A
n
A
1
at B
n
, see Fig. 28, prove that
A
1
B
1
B
1
A
2
·
A
2
B
2
B
2
A
3
·
A
3
B
3
B
3
A
4
· · · · ·
A
n
B
n
B
n
A
1
= 1.
(∗)
19.1.10.5. Prove that the system of equations



x
1
− x
2
= a,
x
3
− x
4
= b,
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 1
has at least one solution in positive numbers if and only if |a| + |b| < 1.
Tour 19.2
Grade 7
19.2.7.1. Let O be the center of the circle circumscribed around 4ABC, let A
1
, B
1
, C
1
be symmetric
to O through respective sides of 4ABC. Prove that all hights of 4A
1
B
1
C
1
pass through O, and all hights
of 4ABC pass through the center of the circle circumscribed around 4A
1
B
1
C
1
.
19.2.7.2. Points A
1
, A
2
, A
3
, A
4
, A
5
, A
6
divide a circle of radius 1 into six equal arcs. Ray l
1
from
A
1
connects A
1
with A
2
; ray l
2
from A
2
connects A
2
with A
3
, and so on, ray l
6
from A
6
connects A
6
with
A
1
. From a point B
1
on l
1
the perpendicular is dropped to l
6
; from the foot of this perpendicular another
perpendicular is dropped to l
5
, and so on. Let the foot of the 6-th perpendicular coincide with B
1
. Find the
length of segment A
1
B
1
. (Cf. Problem 19.2.9.5.)
19.2.7.3. 100 numbers (some positive, some negative) are written in a row. All of the following three
types of numbers are underlined: 1) every positive number, 2) every number whose sum with the number
following it is positive, 3) every number whose sum with the two numbers following it is positive. Can the
sum of all underlined numbers be (a) negative? (b) equal to zero?
19.2.7.4. 64 non-negative numbers whose sum equals 1956 are arranged in a square table, eight numbers
in each row and each column. The sum of the numbers on the two longest diagonals is equal to 112. The
numbers situated symmetrically with respect to any of the longest diagonals are equal. Prove that the sum
of numbers in any column is less than 1035. (Cf. Problem 19.2.8.2.)
19.2.7.5*. Assume that the number of a tree’s leaves is a multiple of 15. Neglecting the shade of the
trunk and branches prove that one can rip off the tree
7
15
of its leaves so that not less than
8
15
of its shade
remains.