7- ma’ruza lyapumov usuli asosida nochiziqli sistemalarni turg‘unligini tahlili. Reja

7- MA’RUZA
Lyapumov usuli asosida nochiziqli sistemalarni turg‘unligini tahlili.
Reja.

1. 
   Z-almashtirishlari.
   
2. 
   Farqli tenglamalar.
   

Impulsli va raqamli ABT larni analiz va sintez qilishda diskret Laplas almashtirishlaridan keng foydalaniladi. Diskret Laplas almashtirishlari boshqacha qilib Z-almashtirishlari ham deyiladi. Yuqorida keltirilgan almashtirishlardan foydalanish natijasida uzluksiz ABTlarni o’rganish usullariga o’xshash diskret tizimlarni analiz qilish metodlari yaratildi.
Panjara funksiyalari uchun diskret Laplas almashtirishlari tushunchasi quyidagicha ifodalanadi:
(33.1)
Bu yerda p = j - uzluksiz laplas almashtirishlaridagi kabi kompleks argument deyiladi.
Raqamli tizimlarni o'rganish uchun Z-almashtirishlari keng tarqaldi, bu diskret Laplas transformatsiyasi bilan bog'liq va undan kelib chiqadi:
(33.2)
Bu yerda yangi belgilanish:
(33.1) dan kelib chiqadiki, Z-almashtirishi diskret Laplas almashtirishi (33.2) bilan amaliy jihatdan mos tushadi va faqatgina tasvirning argumenti bilan farq qiladi.
To’g’ri Z-almashtirishi uchun z- almashtirish belgi formasi quyidagicha bo’lishi mumkin:
Y(z) = Z{y(kT_d)};
Xuddi shunday qilib, teskari z-almashtirishi uchun:
y(kT_d) = Z^-1{Y(z)}.
Z-almashtirishlarini qo’llashda asosiy qoidalarini ko’rib chiqamiz:
Diskret funksiyaning sozlanish qiymati haqida teorema:
(33.3)

Avtomatik boshqarish nazariyasida hisoblashda ishlatiladigan asosiy funksiyalar uchun Z-almashtirishlari jadvali quyida keltirilgan:

33.1-jadval
Panjarali funksiya tasvirlari

Original	Laplas almashtirishlari	Panjarali funksiya	Z-almashtirishlari
	1	(kTd)	1
1(t)		1(kTd)
t		kTd

Funksiyaning kechikish teoremasi:

Z{y[(k  l)T_d]} = z^l Y(z) (33.4)
Bu yerda l- kechikishning taktlar soni (butun son)
Ilgarilab ketish teoremasi:
Z {y [(k + l) T_d ]} = z ^l Y(z) (33.5)
Bu yerda l- ilgarilab ketishning taktlar soni (butun son)
Z-almashtirishlarini farqli tenglamalarga nisbatan qo’llash tizim yoki impuls elementlarining uzatish funksiyalarini hisoblashga imkon yaratadi. Impulsli (raqamli) ABTlarning uzatish funksiyasi W(z) deb, chiqish signali Y(z) ning z-tasvirining kirish signali X(z) ning z-tasviri nisbatiga aytiladi, ya’ni:
(33.6)
Oldin aytib o’tilganidek, uzatish funksiyasini hisoblash uchun boshlang’ich tenglama sifatida kirish va chiqishlar orasidagi bog’liqlikning farqli tenglamasini olib qarashimiz mumkin. Bundan tashqari, diskret W(z) funksiya uzluksiz W(p) uzatish funksiyasidan ham olish mumkin. Ikkala holatni ham ko’rib chiqamiz.
Masalan, (33.3) formadagi farq tenglamasidan uzatish funksiyasini olish uchun farq tenglamasining chap va o'ng tomonlarini to'g'ridan-to'g'ri Z-o'zgarishini (33.5) amalga oshirish va so'ngra tasvirning nisbatlarini topish kerak. Shunday qilib, impuls elementi yoki tizimining uzatish funksiyasi quyidagi shaklda bo'ladi:
. (33.6)
misol: farq tenglamasi quyidagicha bo'lgan tizimning o'tkazish funksiyasini aniqlang:
y[(k  2)T_d] + 2y(kT_d) = x(kT_d)

yechish:

W_u(p) uzluksiz qismining uzatish funksiyasi diskret shaklga quyidagicha o'zgarishi mumkin. Wu(p) uzluksiz qismining uzatish funksiyasi polinomlarining nisbatini anglatadi:
(33.7)
Mahrajning ildizlarini aniqlab, uni ko’paytmalar shaklida ko'rsatish mumkin. Shundan so'ng, doimiy koeffitsientlar usuli bilan uzluksiz qismning uzatish funksiyasi eng oddiy hadlar yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin. Laplas va Z-tasvirlari bog’liqliklaridan foydalanib biz uzluksiz qismning uzatish funksiyasini diskret shaklda aniqlaymiz, bu esa ramziy ko'rinishda W_n(z) = Z{W_n(p)} shakliga ega.
misol: tizimning uzluksiz qismi uzatish funksiyasi quyidagicha bo’lsin:
(33.8)
Bunda uzatish funksiyasi oddiy hadlar yig'indisi sifatida ifodalanadi:
;
,
Bu yerda: ;
Т_d – diskretlik davri.
Nazorat savollari.

1. 
   Z-almashtirishlari nima?
   
2. 
   Z-almashtirishlari qanday amalga oshiriladi?
   
3. 
   Funksiya tasviri nima?
   
4. 
   Farqli tenglamalar qanday tenglamalar?
   
5. 
   Ular qanday hisoblanadi?