7-amaliy mashg’ulot Idempotent o’lchov

7-amaliy mashg’ulot 

Idempotent o’lchov 

 Idempotent  o’lchovning  ta’rifini  yuqorida  berdim.  Unga  ko’plab  misollar 

keltirishimiz  mumkin.  Lekin  biz  hozir  Comp  kategoriyasida  idempotent  o’lchov 

tushunchasiga to’xtalamiz. 

     



X

kompakt  Hausdorf  fazosi  bo’lsin. 

X

da 



sup

norma  bilan  ta’minlangan 

uzluksiz funksiyalarning Banax fazosini 

)

( X

C

 orqali belgilaymiz.  

   Kelgusida, funktor orqali kovariant funktorni ifodalaymiz. 

Comp

 kategoriyasida 

harakat qilayotgan ehtimollik o’lchov funktorini 

P

 orqali belgilaymiz. 

   













R

R

max

    

y

x

e

e

y

x





)

,

(



 orqali aniqlangan 



 metrika bilan 

ta’minlangan bo’lsin. 





n

n

R

R

max

max



 bo’lsin. 

    

Idempotent  matematika  uslubidan  borib, 











X



)

,

(

  bo’yicha  harakat 

qilayotgan  akslantirishni 

)

(

)

(

:

X

C

X

C

R







  bilan  va 













,

max

)

,

(



 

bo’yicha  harakat  qilayotgan  akslantirishni 

)

(

)

(

)

(

:

X

C

X

C

X

C







  bilan 

belgilaymiz.  

    

Har  bir   

R

c



  uchun 

c

x

c

X



)

(

,  har  bir 

X

x



  uchun,  formula  bilan 

aniqlangan 

)

( X

C

 dagi o’zgarmas funksiyani 

X

c

 orqali belgilaymiz. 

    

Ta’rif.  Agar  har  bir 

)

(

,

X

C







  lar  uchun 

R

X

C



)

(

:



  funksional 

quyidagi shartlarni qanoatlantirsa,  idempotent ehtimollik o’lchovi deyiladi: 

(1)   

;

)

(

c

c

X





 

(2)   

);

(

)

(















c

c

 

(3)   

).

(

)

(

)

(





















 

    

X

  da  idempotent  ehtimollik  o’lchovlari  to’plamini 

)

( X

I

  bilan  belgilaylik. 

)

( X

I

 ni sust topologiya bilan ta’minlaymiz. Bu topologiyaning bazasi 





,

,...,

1

,

)

(

)

(

)

(

;

,...,

;

1

n

i

X

I

i

i

n































 

bunda 

0

,

,...,

1

),

(

),

(















n

i

X

C

X

I

i

, to’plamlardan tashkil topgan.  

    

 

Quyidagi  idempotent  ehtimollik  o’lchoviga  misol  bo’ladi: 

X

x

x

n



,...,

1

  va 

max

1

,...,

R

n







,  bunda 





0

,...,

max

1



n





,  bo’lsin. 

R

X

C



)

(

:



  ni  quyidagicha 

aniqlaymiz: 





.

,...,

1

)

(

max

)

(

n

i

x

i

i















  Odatdagiday,  har  bir 

X

x



  uchun 

quyidagicha 

)

(

),

(

)

(

X

C

x

x













 kabi aniqlangan 

)

( X

C

 dagi funksionalni 

x



 

(yoki 

)

( x



) bilan belgilaymiz. U holda 

i

x

i

n

i















1

 yozish mumkin.     

Idempotent  ehtimollik  o’lchovlari  to’plamining  xossalarini  o’rnatish  uchun 

tartib saqlovchi funksionallardan foydalanamiz. Kompakt Xausdorf fazosida tartib 

saqlovchi funksionallar to’plamini T. Radul ko’rib chiqqan.  

    

Ta’rif:  

R

X

C



)

(

:



 funksional  

(1) sust additiv deyiladi, agar har bir 

R

c



 va 

)

( X

C





 uchun 

c

c

x







)

(

)

(









 o’rinli bo’lsa; 

(2) tartib saqlovchi deyiladi, agar 







 bo’ladigan har bir 

)

(

,

X

C







 lar 

uchun 

)

(

)

(











 o’rinli bo’lsa; 

(3) normalangan deyiladi, agar 

1

)

1

(



X



 o’rinli bo’lsa. 

R

 haqiqiy sonlar fazosi standart metrika bilan ta’minlangan. Keyingi faktlar  

T. Radulning  ishlarida o’rnatilgan.  

     Lemma.  Har  bir  tartib  saqlovchi  sust  additiv  funksional  kengaymagan 

akslantirish bo’ladi.  

    

X

  kompakt  Hausdorf  fazosi  uchun 

)

( X

O

  bilan 

)

( X

C

da  barcha  tartib 

saqlovchi  sust  additiv  normalangan  funksionallar  to’plamini  belgilaymiz. 

Ko’rish  osonki,  har  bir 

)

( X

O





  va 

R

c



  uchun 

c

c

X



)

(



  ga  egamiz. 

Shunday qilib, har bir 

X

 kompakt Xausdorf fazosi uchun 

)

(

)

(

X

O

X

I



. 

     Teorema. 

)

( X

I

 to’plam 

)

( X

O

 da yopiq. 

     Isbot. 

)

(

\

)

(

X

I

X

O





 deb faraz qilaylik. U holda 

b

a











)

(

)

(

)

(















 bo’ladigan 

)

(

,

X

C







 lar mavjud. U holda 

)

(

\

)

(

2

;

,

,

;

X

I

X

O

b

a





















. 

)

( X

I

 ning to’ldiruvchisini 

)

( X

O

 da 

ochiq to’plam ekanligini ko’ramiz.  

 

 

 

 

 

 

 

 

Isbotlandi. 

    

)

( X

O

  Xausdorf  kompakti  bo’lishi  ma’lum, 

)

( X

I

  fazo  ham  shunday 

bo’lishini xulosa qilamiz. 

     Kompakt  Xausdorf  fazolarda 

Y

X

f



:

  akslantirish,  har  bir 

)

(Y

C





 

uchun 

  formula  bilan  aniqlangan 

)

(

)

(

:

)

(

Y

O

X

O

f

O



 

akslantirish berilgan bo’lsin. 

     Teorema. 

n

X



 bo’lsin. U holda 

)

( X

I

 fazo 





)

1

( n

o’lchovli simpleksga 

gomeomorf. 

     Teorema. 

 





N

n

X

x

n

i

R

X

I

i

i

n

i

i

x

i

n

i

w

i























,

,

0

,

,...,

1

,

)

(

1

max

1









  

to’plam(ya’ni, chekli tashuvchili idempotent ehtimollik o’lchovlari to’plami)  

)

( X

I

 da zich. 

 

Teorema. 

)

(

2

2

1

1

X

I

















. 

 

Bu teorema 

 

X

I

 idempotent o’lchovlar to’plami chiziqli fazo tashkil 

etishini bayon etadi. 

Teorema. 

)

,

,

(





I





 uchlik 

Comp

 kategoriyasida monad bo’ladi.