7. Ифодаларни айний алмаштиришлар

7. Ифодаларни айний алмаштиришлар

Сонлар, ўзгарувчи миқдорлар турли алгебраик амаллар билан қатнашган ифодалар алгебраик ифодалар дейилади, масалан: ; ва х.к. Алгебраик ифода қиймати унда қатнашган ўзгарувчилар қийматига боғлиқ, яъни ўзгарувчилар мос қийматини ифодада қатнашган мос ўринларга қўйиб чиқиб, кўрсатилган амаллар орқали ҳисобланади. Ўзгарувчиларнинг баъзи қийматларида ўзгарувчили ифодалар маънога эга бўлмайди. Масалан, ифода маънога эга эмас, чунки каср махражи нолга тенг бўлиб қолади.

Ўзгарувчили ифода маънога эга бўладиган ўзгарувчиларнинг барча қийматлари тўплами ифоданинг аниқланиш соҳаси дейилади.
Икки ифода айнан тенг дейилади, агар бу ифодаларнинг умумий аниқланиш соҳаларига тегишли бўлган ўзгарувчиларнинг барча қийматларида бу ифодаларнинг мос қийматлари тенг бўлса.
Ўзгарувчиларнинг барча мумкин бўлган қийматларида ўринли бўлган тенгликка айният дейилади.
Масалан, тенглик айният; да тенглик айният.
Агар тенглик айният бўлса, уни одашда каби белгиланади.
Иккита айнан тенг бўлган ифодадан қайси бирида амаллар камроқ бажарилса ўша ифода иккинчи ифодага нисбатан соддароқ деб ҳисобланади.
Сонлар, ўзгарувчилар ва уларнинг даражаларининг кўпайтмасига бир ҳад дейилади. Масалан, лар бир ҳадлардир.
Бир ҳадда иштирок этаётган сонли кўпайтувчиларни кўпайтириб, унда иштирок этаётган бир ҳил ўзгшарувчиларни кўпайтириб даражалар кўпайтмаси шаклда ифодаланса уни бир ҳаднинг стандарт шакли дейилади. Ҳосил бўлган сонли кўпайтувчи бир ҳаднинг коэффициенти дейилади. Масалан:


Стандарт шаклдаги бир ҳадда ўзгарувчилар даража кўрсаткичларининг йиғиндиси бир ҳаднинг даражаси дейилади.
Масалан. - бир ҳад олтинчи даражалидир; бир ҳад даражаси 1 га тенг, 5 бир ҳад даражаси нолга тенг.
Бир ҳадларнинг алгебраик йиғиндисига кўпҳад дейилади. Масалан, - кўпҳад (учҳад). - кўпҳад эмас.
Кўпҳадда фақат коэффициентлари билан фарқ қилувчи ёки айнан бир ҳил бўлган бир ҳадлар ўхшаш ҳадлар дейилади. Ўхшаш ҳадларни коэффициентлари устида амалларни бажариб битта ҳад кўринишига келтиришни ўхшаш ҳадларни ихчамлаш дейилади.
Агар кўпҳадда барча бир ҳадлар стандарт шаклда бўлиб, ўхшаш ҳадлар ихчамланган бўлса ҳамда улар йиғиндида даражаларининг пасайиши тартибида, алфавит тартибида келса, бундай кўринишда бўлган кўпҳадни станларт шаклдаги кўпҳад дейилади.
Масалан,


Кўпҳаднинг станларт шаклдаги биринчи келган бир ҳад кўпҳаднинг бош ҳади дейилади.
Кўпҳадлар йиғиндилари ёки айирмаларини стандарт шаклдаги кўпҳад кўринишига келтириш учун 1) қавсларни очиб чиқиш керак; 2) ўхшаш ҳадларни ихчамлаштириш керак.
Бир ўзгарувчига боғлиқ бўлган кўпҳадни , яъни бир аргументнинг функцияси деб қарашимиз мумкин.
кўпҳадни стандарт шаклга келтирилган бўлса, у ҳолда унинг кўриниши

бўлади.
кўпҳадни станларт шаклга келтирилгандан сўнг ҳосил бўлган кўпҳаднинг барча коэффициентлари йиғиндиси нинг даги қийматига тенг:

кўпҳадни стандарт шаклга келтирилгандан сўнг нинг жуфт даражалари олдидаги барча коэффициентлар йиғиндиси.

га тенг

кўпҳадни стандарт шаклга келтирилгандан сўнг нинг тоқ даражалари олдидаги барча коэффициентлари йиғиндиси

га тенг

Икки кўпҳад айният бўлиши учун бу кўпҳадлар стандарт шаклларидаги ўзаро ўхшаш ҳадлари олдидаги коэффициентлар тенг бўлиши зарур ва етарлидир. Хусусан,

ва

кўпҳадлар айнан тенг бўлиши учун

шарт ўринли бўлиши зарур ва етарлидир.
Ифодани унга айнан тенг бошқа ифодага алмшатиришни ифодаларни тенг кучли алмаштириш дейилади.
Кўпҳадни кўпайтувчиларга ажратиш деганда берилган кўпҳадни икки ёки ундан ортиқ бўлган кўпҳадларнинг кўпайтмаси шаклда ифодаланувчи ифодага тенг кучли алмаштирилиш тушунилади.
Ҳар қандай кўпҳад ҳам кўпайтувчиларга ажралавермайди. Бундай кўпҳадларни келтирилмайдиган кўпҳадлар дейилади.
Масалан, ҳар қандай кўринишдаги икки ҳад; бўлган квадрат учҳад келтирилмайдиган кўпҳадлар бўлади.
кўпҳад қиймати 0 га тенг бўладиган ўзгарувчининг қийматига кўпҳаднинг илдизи дейилади. Агар кўпҳад учун илдиз бўлса, у ҳолда кўпҳаддан иккиҳад кўпайтувчини ажратиб олиш мумкин, яъни

кўринишда ёзиб олиш мумкин.
Кўпҳадни кўпайтувчиларга ажратиш якунланган хисобланади, агар ундаги барча кўпайтувчилар келтирилмайдиган кўпҳадлар бўлса.
Кўпҳадларни кўпайтувчиларга ажратишда турли усуллар кўлланилади: умумий кўпайтувчини қавс ташқарисига чиқариш, группалаш, қисқа кўпайтириш формулаларини қўллаш.
Бир нечта ўзгарувчиларга боғлиқ бўлган ифода рационал ифода дейилади агар бу ифодада ўзгарувчиларга нисбатан қўшиш, айириш, кўпайтириш, бўлиш ва бутун даражага кўтариш амалларидан бошқа амаллар қўлланилмаган бўлса.
ва
лар қисқармайдиган рационал ифодалар бўлса, бунда лар қандайдир кзпҳадлар. ва рационал ифодалар айнан тенг бўлиши учун
ва
тенгликлар айният бўлиши зарур ва етарлидир.
Ифодаларни соддалаштиришда, кўпайтувчиларга ажратишда ёки рационал ифодаларни қисқартиришда қуйидаги қисқа кўпайтириш формуларидан фойдаланиш мумкин:
(квадратлар айирмаси) (1)
(йиғиндининг квадрати) (2)
(айирманинг квадрати) (3)
(йиғиндининг куби) (4)
(айирманинг куби) (5)
(кублар йиғиндиси) (6)
(кублар айирмаси) (7)
(8)
(9)
(10)
(1)-(7) формулаларни на фақат қисқа кўпайтириш формулалари, балки учта ифоданинг бир-бирига боғлиқлигини кўрсатувчи тенгликлар деб қараш мумкин. (1) да айирма , йиғинди , квадратлар айирмаси ни боғловчи тенглик; (2) да йиғинди , кўпайтма , квадратлар йиғиндиси ни боғловчи тенглик; (3) да айирма , кўпайтма , квадратлар йиғиндиси ни боғловчи тенглик; (4) да йиғинди , кўпайтма , кублар йиғиндиси ни боғловчи тенглик; (5) да айирма , кўпайтма , кублар айирмасини боғловчи тенгликлар деб қараш мумкин.
Агар учта ифодадан иккитасининг қиймати маълум бўлса, у ҳолда учинчи ифода қийматини ҳам топиб олишимиз мумкин.
Мисол. квадрат тенглама илдизлари ва бўлса, у ҳолда ни топинг.
Ечиш. Виет теоремасига кўра (4) тенгликка кўра

ва ларнинг қийматларини унга кўямиз:
ва
эканлигини топамиз.

Тестлар
1. ифодани кўпайтувчиларга ажратинг.

А) ; В) ;
С) ; Д)
2. ифодани соддалаштиринг.
А) В) С)
Д)
3. ифодани соддалаштиринг.
А) В) С)
Д)
4. ифодани соддалаштиринг.
А) В) С) Д)
5. ифодани соддалаштиринг.
А) В) 0 С) Д)
6. кўпҳадни кўпайтувчига ажратинг.
А) В)
С) Д)
7. кўпҳадни кўпайтувчига ажратинг
А) В)
С) Д)
8. кўпҳадни кўпайтувчига ажратиш
А) В)
С) Д)
9. ни кўпайтувчига ажратинг.
А) В)
С) Д)
10. кўпҳадни кўпайтувчига ажратинг.
А) В)
С) Д)
11. ифода стандарт шаклдаги кўпҳад кўринишида ёзилса, барча коэффициентларининг йиғиндисини топинг.
А) 3 В) -5 С) 7 Д) 1
12. ифода стандарт шаклдаги кўпҳад кўринишида ёзилса, нинг тоқ даражалари олдидаги барча коэффициентлари йиғиндисини топинг.
А) 12 В) -11 С) -5 Д) 13
13. кўпҳаддан қуйидаги икки ҳадлардан қайси бирини кўпайтувчи сифатида ажратиб олиш мумкин?
А) В) С) Д)
14. ифоданинг ва бўлгандаги қийматини ҳисобланг.
А) 37,5 В) 1 С) 3 Д) 4
15. Агар бўлса, у ҳолда ифоданинг қийматини топинг.
А) 0,53 В) 0,46 С) 0,35 Д) 0,23
16. Агар тенглик айният бўлса, у ҳолда номаълум коэффициентлар орқали тузилган ифоданинг қийматини ҳисобланг.
А) 35 В) 10 С) 5 Д) 25
17. ифодани ва лар орқали ифодаланг.
А) В) С)
Д)
18. касрни қисқартиринг.
А) В) С) Д)
19. касрни қисқартиринг.
А) В) С) Д)
20. касрлар кўпайтмасини соддалаштиринг.
А) В)
С) Д)
21. Соддалаштиринг:
А) В) С)
Д)
22. Соддалаштиринг:
А) В) С) Д)
23. ифодани соддалаштиринг.
А) В) 2 С) 1 Д)
24. ифодани соддалаштиринг.
А) В) С)
Д)
25. ифодани соддалаштиринг.
А) В) С) Д)
26. ифодани соддалаштиринг.
А) В) С) Д)
27. ифоданинг бўлгандаги қийматини ҳисобланг.
А) 0,4 В) С) Д)
28. Қуйидаги келтирилган тенгликлардан қайсилари айният?
1)
2)
3)
4)
5)
А) 1; 2; 4 В) 3; 4; 5 С) 2; 4; 5 Д) 1; 3; 5

29. Агар тенглик айният бўлса, у ҳолда ва нинг қийматларини топинг.

А) В) С) Д)

30. Агар тенглик айният бўлса, у ҳолда ва нинг қийматларини топинг.

А) В) С)
Д)