7-ma’ruza. Kompleks o’zguruvchili funksiyaning hosilasi. Koshi-Riman shartlari.(2 soat) Dars rejasi

7-ma’ruza.

Kompleks o’zguruvchili funksiyaning hosilasi. Koshi-Riman shartlari.(2 soat)

Dars rejasi:

1. Hosila tushunchasi

2. Koshi-Riman shartlari.

7.1 Hosila tushunchasi.

Faraz qilaylik, С (С-kompleks tekislik) ochiq to’plamda aniqlangan va bir qiymatli funksiya berilgan bo’lsin.

7.1-ta’rif. Agar

(7.1)

nisbat -orttirma ixtiyoriy yo’nalish bo’ylab nolga intilganda aniq chekli (yagona) limitga ega bo’lsa, u holda -funksiya nuqtada differensiallanuvchi deyiladi. Ushbu limitga funksiyaning nuqtadagi hosilasi deyiladi va kabi belgilanadi:

. (7.2)

Nuqtada differensiallanuvchi funksiya shu nuqtada monogen funksiya deyiladi. Nuqtada monogen funksiya shu nuqtada hosilaga ega bo’ladi.

7.2-ta’rif. Agar funksiya - ochiq to’plamning har bir nuqtasida monogen bo’lsa, u holda bu funksiya -to’plamda bir qiymatli analitik deyiladi.


7.1-misol. funksiya differensiallanuvchi bo’ladigan barcha nuqtalarni toping, bu yerda .

Yechish. Bu funksiyaning nuqtadagi orttirmasini hisoblaymiz:

Bundan (7.1) dagi nisbat quyidagicha yoziladi

va . Ikkala limit ham _(C) -ning ixtiyoriy qiymatida mavjud. Endi birinchi qo’shiluvchi ning limitini hisoblaymiz:

.

Agar bo’lsa, bu limit mavjud va nolga teng. Demak, funksiya nuqtada monogen va uning hosilasi nolga teng, ya’ni .

Agar bo’lsa, u holda bu nuqtada funksiyaning monogen yoki

monogen bo’lmasligi ifodaning limiti mavjud yoki mavjud emasligidan bog’liq bo’ladi. Endi limitni hisoblaymiz.

Bu hisobdan ravshanki limit nolga intilish yo’lidan bog’liq ekan. Bu tanlab olingan ikkita yo’l bo’yicha nolga intilganda limitlar har xil ( va ). Demak, ifoda aniq yagona limitga ega emas, ya’ni limit mavjud emas.

Xulosa. 7.1-misolda (7.2) nisbatning limiti faqat va faqat nuqtadagina mavjud, ya’ni funksiya nol nuqtada monogen va uning hosilasi . Agar bo’lsa, (7.2) nisbatning limiti mavjud emas, ya’ni berilgan funksiya bo’lgan qiymatlarida monogen emas. Funksiya nuqtada monogen, ya’ni hosilaga ega, ammo bir qiymatli analitik emas.

7.2 Koshi-Riman sharti. Faraz qilaylik, funksiya (S) - ochiq to’plamda aniqlangan va shu to’plamning nuqtasida hosilasi mavjud funksiya (monogen) bo’lsin.

Bu ikkala funksiya uchun quyidagi Koshi-Riman shartlari o’rinli bo’ladi:

, . (7.3)

hosil qilinadi.

7.1-teorema. ochiq to’plamda aniqlangan kompleks o’zgaruvchili funksiyaning -da bir qiymatli analitik bo’lishi uchun va funksiyalar shu to’plamning har bir nuqtasida birinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lib, (7.3) Koshi-Riman shartini qanoatlantirishi zarur.

Agar va funksiyalar to’liq differensialga ega bo’lsa, funksiya ochiq to’plamning har bir nuqtasida bir qiymatli analitik bo’lishi uchun (7.3) Koshi-Riman shartini bajarilishi yetarli.

7.3-ta’rif. Haqiqiy o’zgaruvchili funksiya sohada ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lib, Laplas tenglamasini qanoatlantirsa, funksiyaga sohada garmonik funksiya deyiladi.

7.4-ta’rif. sohada (7.3) Koshi-Riman sistemasining qanoatlantiruvchi va garmonik funksiyalar o’zaro qo’shma garmonik funksiyalar deyiladi.

Demak, sohada bir qiymatli analitik , funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari shu sohada o’zaro qo’shma garmonik funksiyalardan iborat bo’ladi.